減少運算話策略，巧妙應用談方法

韓文美

如果解決解析幾何問題的起點和方法不恰當，往往會導致比較大的計算量，運算繁雜，導致解答時間冗長或不能完全解決問題，因此我們有必要優化解題過程，下面結合實例就解析幾何初步中減少運算的幾類常見策略加以剖析.

1.巧用特殊化

在解決解析幾何初步的問題時往往可以把研究對象特殊化處理，如點的特殊位置、直線的特殊方程、位置關系的特殊化等，通過特殊化處理，可以極大地優化運算，減少運算量，

例1 已知圓O：x²+y²=1和點A（-2，0），若定點B（b，O）（b≠-2）和常數λ滿足：對圓0上任意一點M，都有MB =AMA，則b= _____，λ=_______.

分析 常見的思路是設出點M的坐標，結合關系式MB =λMA及點在圓0上，建立相應的方程組來求解.

按以上思路解決，運算量大，我們不妨換一個解決途徑.根據點M的任意性，可取一特殊點來處理也必然滿足條件，從而減少運算，

點評 特殊化處理可以大大減少分析與處理問題的時間，減少計算量.同時也應注意，這里的特殊化只能用于填空題，而且還可能存在不唯一的風險，所以，如果有時間，還是需要我們根據結論反向驗證，以確保萬無一失.

2.巧設參變量

當某一具體問題的解決可能有多種設法（如設點的坐標、設斜率、設方程）時，在設參變量之前要作一個預判，如能設得恰到好處，解決問題時必能減少運算量.

例2過點P（o，1）作一條直線l，使得直線l被兩條直線l₁：2x+y-8=0，l₂：x-3y+10=0所截得的線段恰好被點P平分，求直線l的方程.

分析 常見的思路是設出直線Z的斜率為k，寫出方程，通過聯立方程組分別求出直線l與l₁，l₂的交點坐標，再由點P為中點，根據中點坐標公式列出關于k的方程，解出k的值即可，當然要對斜率不存在的情況做一個簡單的說明.

按以上思路解決，運算復雜，計算量大.換一條解決途徑，除了確定直線的斜率外也可確定相應的交點坐標，利用關于點P的對稱性質求解另一交點的坐標，從而解決問題，

解 設直線l與l₁的交點坐標為M（a，8-2a），則點M關于點P（0，1）的對稱點N（-a，2a-6）在直線l₂：x-3y+10 =0上，可得-a-3（2a-6）+10 =0，解得a=4，則有M（4，0）.

那么直線l的方程為z+4y-4 =0.

點評 不同的設元，必定會產生不同的效果，而通過巧設參變量，可以使得運算量大大減少，優化解題過程，提升解題效益.

3.妙用幾何性質

有時，在解題中充分挖掘和利用圖形本身的平面幾何性質，往往可以得到一些優美且簡潔的解答.

例3 已知點P（1，2）在圓O：x²+y²=5上，A，B是圓0上與點P相異的兩點，若直線PA，PB的傾斜角互補，試判斷直線AB的斜率是否為定值？若是定值，請求出該定值;若不是定值，請說明理由.

分析 常見的思路是根據直線PA，PB的傾斜角互補知對應直線的斜率互為相反數，可設直線PA的斜率為k，寫出直線PA的方程，與圓O的方程聯立解出點A的坐標，同理解出點B的坐標，最后再求出直線AB的斜率，進而再判定與分析.

按以上思路解決，沒有充分挖掘題目中的幾何圖形性質，運算繁雜且容易出錯，而換一個解決角度，結合平面幾何中的相關性質，利用對稱性、圓的性質以及兩直線垂直的關系來轉化，簡單易操作.

解 由于直線PA，PB的傾斜角互補，則直線PA，PB與x軸圍成等腰三角形，

作點P關于z軸的對稱點Q（點Q（1，-2）也在圓O上），連結OQ，

因為PQ平分∠APB，所以點Q為弧AB的中點，從而oo上⊥AB，

又點Q（l，-2），所以k_OQ=-2，于是k_AB=1/2為定值，

點評 充分挖掘解析幾何初步中直線的傾斜角、斜率、截距等，圓中的圓心、半徑等元素與對應的平面幾何性質之間的關系，往往可以使得問題的解決更為直觀，操作更為方便快捷.

4.妙用設而不求

具體解題時只把設置的未知量作為解決問題的橋梁，而不具體求出所設未知量即可達到破解問題的目的.這種設而不求的思維方法可以大大簡化運算，提升效益，

例4從圓c：（x-1）²+（y-1）²=1外一點P（2，3）向該圓引兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，試求直線AB的方程，

分析 常見的思路是利用直線的點斜式方程設出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求解對應的切線方程，分析求出相應的切點A，B的坐標再來求解直線AB的方程，

按以上思路解決，過程繁雜，運算量大，容易導致錯誤.換一個角度，利用圓的切線方程，我們可以簡化運算.

解 設切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

則切線PA的方程為（x₁-1）（x-l）+（y₁-l）（y-1）=l.

而點P（2，3）在切線PA上，代人可得（x₁-1）（2-1）+（y₁-1）（3-1）=l，即x₁+2y₁=4，

同理可得x₂+2y₃=4，

由以上所求可知A，B坐標滿足二元一次方程x+2y =4，故直線AB的方程為z+2y=4.

點評 設而不求是解析幾何初步中解題的基本手段，需要做到：（l）凡是不必直接計算就能更簡潔的解決問題的，都盡可能實施“設而不求”;（2）“設而不求”不可避免的要設參，消參，而設參的原則是宜少不宜多，

減少解析幾何初步運算的策略與方法還有很多，不同的問題有不同的策略與方法.我們不能停留在常規的計算上，關鍵是認真審題，看清問題的本源，尋找條件與題設之間的關系，這樣才能有助于我們更好地、更簡潔地解決問題.