破解含有量詞的問題

張榮彬

若M是給定的集合，p（x）是一個含有x的語句，那么稱“?x∈M，p（x）”為全稱命題，稱“?x∈M，p（x）”為存在性命題．用這種邏輯用語來表達的數(shù)學(xué)問題具有簡捷、新穎、抽象的特點．以下將此類問題的解法要點作簡要的歸納梳理．

一、例題精選

例1已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x1≠x2均有成立．

（1）若對 ?x∈［0，1］，f（t·9x－1）＋f（3x＋2）＜0成立，求實數(shù)t的取值范圍；

（2）若 ?x∈［0，1］，使f（t·9x－1）＋f（3x＋2）＜0，求實數(shù)t的取值范圍；

（3）若 ?x∈［0，1］，使f（t·9x－1）＋f（3x＋2）＝0，求實數(shù)t的取值范圍．

例2已知函數(shù)f（x）＝ax－lnx（a∈R）．若對 ?x∈ ［1，＋ ∞）均有f（x）≥成立，求實數(shù)a的取值范圍．

例3已知

（1）若對 ?x2∈ ［0，2］，?x1∈ ［0，2］，使得f（x1）＞g（x2），求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若對 ?x2∈ ［0，2］，?x1∈ ［0，2］，使得f（x1）＝g（x2），求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若 ?x1，x2∈ ［0，2］，使 得f（x1）＞g（x2），求實數(shù)a的取值范圍．

二、解題分析

例1的解析

由已知得f（x）是奇函數(shù)也是R上的增函數(shù)，觀察3個小問后，不妨設(shè)，因為x∈［0，1］，可求出g（x）的值域是于是本題的3個小問可分別翻譯為：

t＜g（x）恒成立、t＜g（x）有解和t＝g（x）有解，從而t＜g（x）min＝－2、和

例2的解析

此時想起老師的告誡：解決恒成立問題，首選的方法是分離變量，若不能分離或分離后不易求出所要的結(jié)果，可以考慮帶參討論或數(shù)形結(jié)合．

當(dāng)a＝0時，h（x）＝－2lnx≤0，不合題意；

當(dāng)a≥1時，方程ax2－2x＋a＝0的判別式Δ＝4－4a2≤0，h′（x）≥0，所以h（x）在x∈［1，＋∞）時單調(diào)增，此時h（x）min＝h（1）＝0，適合題意；

當(dāng)a≤－1或a∈（－1，0）時，h（x）在x∈［1，＋∞）時單減，此時h（x）max＝h（1）＝0，不合題意；

當(dāng)a∈（0，1）時，方程ax2－2x＋a＝0有2個不等正數(shù)根x1，x2，因為x1x2＝1，若設(shè)x1＜1＜x2，則h（x）在［1，x2］上單調(diào)減，在 （x2，＋∞）上單調(diào)增．因h（1）＝0，所以h（x）≥0不能恒成立．

綜上知，a≥1為所求．

例3的解析

f（x）在［0，2］上的值域是［0，4］，g（x）在［0，2］上的值域是 ［－a，ln3－a］．

（1）對 ?x2∈ ［0，2］，若 ?x1∈［0，2］，使得f（x1）＞g（x2），即f（x）max＞g（x）max，須有4＞ln3－a，所以a＞－4＋ln3．

2017年4月，交通運輸部聯(lián)合廣東、廣西、貴州、云南4省區(qū)人民政府聯(lián)合印發(fā)《珠江水運科學(xué)發(fā)展行動計劃（2016—2020年）》（以下簡稱《行動計劃》）。5 月，交通運輸部印發(fā)《珠江水運發(fā)展規(guī)劃綱要》（以下簡稱《規(guī)劃綱要》）。同年，珠江實現(xiàn)了億噸水網(wǎng)、億噸干線、億噸港口、億噸船閘“四個億噸”目標(biāo)，珠江水運的發(fā)展邁上了新的量級。今年，《推進珠江水運綠色發(fā)展行動方案（2018—2020年）》（以下簡稱“ 綠色行動方案”），由交通運輸部聯(lián)合廣東、廣西、貴州、云南4省區(qū)人民政府印發(fā)，吹響了珠江水運走生態(tài)優(yōu)先、綠色發(fā)展之路的號角……

（3）若 ?x1，x2∈ ［0，2］，使得f（x1）＞g（x2），則f（x）max＞g（x）min，即4＞ －a，所以a＞－4．

三、方法總結(jié)

1．翻譯轉(zhuǎn)化量詞

當(dāng)題中只有一個量詞時，通常可轉(zhuǎn)化為以下的2個基本事實：

（1）?x∈M，t＜f（x）?t＜f（x）恒成立 ?t＜f（x）min；

（2）?x∈M，t＜f（x）?t＜f（x）有解 ?t＜f（x）max；

?x∈M，t＝f（x）?t＝f（x）有解?t∈f（x）的值域．

當(dāng)題中含有兩個量詞時，去化量詞的情況較為復(fù)雜，為防死記硬背，這里以例3為例介紹2種方法：

二是搭橋法：?x2∈ ［0，2］，?x1∈［0，2］，使得f（x1）＞g（x2）??x2∈ ［0，2］，?x1∈［0，2］，使得f（x1）＞M＞g（x2），而 “?x2∈ ［0，2］，M＞g（x2）?M＞g（x）max”，“?x1∈ ［0，2］，f（x1）＞M?f（x）max＞M”，于是得f（x）max＞g（x）max．本例的（2）與（3）可用同樣的方法完成．

2．求函數(shù)的最值（值域）

當(dāng)出現(xiàn)的量詞按上述規(guī)則被轉(zhuǎn)化后，求某目標(biāo)函數(shù)的最值通常是完成該題的另一個難點．上面的例2就是解決這一問題最常用的思路．

3．幾點提醒

（1）有些問題中并不明確含有“任意、存在”這樣的量詞，但實質(zhì)它是一個全稱命題或存在性命題；而有些命題中的“任意、存在”卻不是量詞，要認(rèn)真理解和識辨；

（2）當(dāng)含有一個量詞的命題正面不易解決時，可改為研究這個命題的否定；

（3）含有量詞的問題雖面廣量大，變化多端，但有“法”可依，在遵循相應(yīng)的“套路”解題時，也要靈活機動，舉一反三．

只要勤于思考，加強訓(xùn)練，便可發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，實現(xiàn)解題突破．

四、反饋練習(xí)

判斷以下對量詞的翻譯是否正確：

（1）?x1∈A，?x2∈B，f（x1）＜g（x2）?f（x）max＜g（x）min；

（2）?x1∈A，?x2∈B，使f（x1）＝g（x2）?f（x）的值域與g（x）的值域交集非空；

（3）?x∈A，f（x）≥g（x）?［f（x）－g（x）］min≥0；

（4）?x1，x2∈A，f（x1）－f（x2）＞m?f（x）min－f（x）max＞m．

（答案：全部正確）