一道選擇壓軸題的命制和教學實踐

福建省福清第三中學 (350315)

何文昌

2018年1月，筆者參加福州教育研究院組織的命題培訓.培訓結束前，每人需命制一道高考模擬卷選擇題壓軸題，每個小組選擇一道題討論并在培訓班展示.筆者命制的一道題被小組長選中，經小組成員打磨后，由筆者進行展示.在1月份的校內月考中，高三年級備課組將該題呈現給學生.現將試題的命制歷程及校內實測、課堂講評情況展示出來，與同行們交流.

一、試題命制過程

(一)構思的背景

翻閱了近年高考真題中的第12題后，2015年新課標Ⅰ卷理12引起了筆者的興趣.

設函數f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數x0，使得f(x0)<0，則a的取值范圍是( ).

圖1

創新從模仿開始.把原題中的指數型換成對數型，保留過定點的直線方程y=ax-4a，再依托經典函數f(x)=clnx+dx2+ax+ab，初步的構思是利用函數f(x)=clnx+dx2-ax+4a進行命制.使用幾何畫板時(如圖1)，用點C′和D′的縱坐標表示參數c和d，從而控制g(x)=clnx+dx2.移動點C′和D′，選取c=2和d=-1，確定了函數g(x)=2lnx-x2和f(x)=2lnx-x2-ax+4a，得到初稿如下：

設函數f(x)=2lnx-x2-ax+4a，其中a>0，若關于x的不等式f(x)≥0有唯一整數解，則a的取值范圍是( ).

(C)(2-ln2,2] (D)(1,2)

(二)小組的討論

(定稿)設函數f(x)=2lnx-x2-ax+4a，其中a>0，若關于x的不等式f(x)≥0有唯一整數解，則a的取值范圍是( ).

試題立意：本題考查學生對數學本質的理解，區分度恰當.本題通過把不等式轉化為函數，隔離兩個函數，利用導數確定函數的極值和單調性，從而求解參數的取值范圍．本題考查導數在解決函數問題中的應用及直線的知識，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，考查運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力．

圖2

成題后，大家進一步提出以下思考：

郭老師：改變直線所過的定點；

念老師：題中的解法對參數進行半分離，從而形成一直一曲的局面，這種小題巧做的思路和方法很有用.

(三)思維的碰撞

無獨有偶，泉州市2018屆高中畢業班1月單科質量檢查(文科數學)第12題采用的思路和方法與小組討論的內容幾乎一樣！題目(答案為A)如下：

設函數f(x)=lnx-ax2-(a-2)x，若不等式f(x)>0恰有兩個整數解，則實數a的取值范圍是( ).

命題工作是艱難的，當我們沉浸于其中時，往往會有許多想法，而一些想法是無效的,可一旦思路被打開后，那種思維流淌所帶來的快樂是無與倫比的.在選擇題的命制過程，筆者體會到以下兩個方面：(1)題干要陳述完整、精煉、準確、包含選擇支相同的內容；(2)選擇支要與題干有關聯、要獨立、無暗示、能體現典型錯誤.

二、試題實測結果

在高三年級的1月份月考中，年級備課組把定稿作為數學試卷的選擇題12題.閱卷完成后，經過統計，全班51位學生中有17位選出了正確答案，有14位學生選了A，有8位學生選了C，有15位學生選了D.

三、試題課堂講評

本題正確率高達近33%，而且選A、D的學生也接近30%，這兩點引起了筆者的注意.在課堂上，筆者帶著疑問講評了這個題目.

教師請一位做對的學生說出他的解題過程.

為了了解使用這種方法答對的學生人數，教師進行統計，共有8位學生.

教師請選擇A的學生說出錯誤解法.

學生2：與學生1相同.

教師統計了使用這種方法的學生人數，共計25位.教師意識到多數學生在解題過程中遇到了困難.

教師：遇到求參數的取值范圍時，一般用什么方法解決？

學生3：分類討論或者分離參數法.

教師：分類討論通常在大題壓軸題中使用.小題要巧做，大家在使用分離參數法的過程中，遇到了什么困難嗎？

教師：怎么做才能避開分類討論呢？

學生5：不要把x-4除過去，保留ax-4a.

學生5的回答讓其他的學生得到了啟發.此時，有一位學生迫不及待地發表他的看法.

學生6：我想到不等式的左邊可以視為過定點(4,0)的直線，右邊視為函數y=2lnx-x2.整個不等式轉化為直線y=ax-4a在函數y=2lnx-x2的圖像的下方.

許多學生對學生6的理解有共鳴，給予掌聲.

……

教師：我們要解后反思.解題遇到困難時，要尋找方法避開困難.使用分離參數法時，有時為了避免討論，經常使用半分離參數的方法.在解題過程中，要有化歸與轉化的意識，這樣就能在函數、方程、不等式三者之間進行靈活轉化.把不等式轉化成函數，利用直線與函數圖像的位置關系分析問題，又是數形結合的數學思想方法的體現.

課堂教學中，突出學生主體是衡量一節課是否優秀的重要指標之一[2].學生能自主、合作探究解決的，教師不能一手包辦；學生不能獨立解決的，教師也不能越俎代庖，而是要給學生展示思維活動的空間，教師設置貼近學生真實背景和想法的問題串，為學生搭建腳手架，激活學生的思維，使學生體驗到解決數學問題的快樂.在這種課堂活動中，學生能提升自己的學習能力，深化對數學知識本質的理解，并進一步學會用數學的思維方法去理解和解決數學問題.