一類帶有脈沖的生物入侵隨機模型的分析

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(北京科技大學 數理學院，北京 10083)

1 模型介紹

生物入侵是指某種生物從外地自然傳入或人為引種后成為野生狀態，并對本地生態系統造成一定危害的現象。本研究從問題出發，根據生物入侵的特點建立所需的隨機模型并進一步研究模型的性質。

自然界中，物種之間的關系始終受到白噪聲的干擾。因此，很多學者在經典的捕食者食餌模型即Lotka-Volterra模型中加入白噪聲[1-4]，得到

其中，x(t)是食餌的種群密度，y(t)是捕食者的種群密度，bi、ci、σi均為非負常數，Bi(t)為標準的布朗運動。

在Lotka-Volterra模型之后，Leslie對其進行改進[5]，得到

在食餌增長中，p(x)反映單位時間里每個捕食者吃掉的食餌數量，不僅與食餌的數量有關，還與捕食者的捕食能力有關，稱為捕食者對食餌的功能性反應。這個模型假設捕食者在環境中的最大容量與食餌的數量成正比例，捕食者的增長是關于y(t)的邏輯斯蒂增長方程，其固有增長率為a2，環境最大容納量為a2x(t)/b2。

將Leslie模型中的p(x)取c1x(t)，并加入隨機項，有

此模型中，食餌的變化與自身一次項呈正相關，與自身二次項和交叉項呈負相關，此食餌可看作食物鏈較低端的物種；捕食者的變化與自身成邏輯回歸關系，并且其最大環境容納量受食餌數量的限制，此捕食者可看作以一種食餌為食的捕食者。綜上所述，可運用該模型來研究生物入侵。一般情況下，模型中的參數是受時間影響的，例如有些物種的數量變化率就隨季節不同而變化，故模型可變為

進一步考慮現實生活，物種數量會受到來自自然或人類社會的其他影響，比如火山爆發、瘟疫或人類突然的大量捕撈等，這些干擾不是白噪聲的隨機干擾所能涵蓋的。因此，有必要在模型中加入脈沖項[6]

(1.1)

其中，ai(t),bi(t),σi(t)(i=1,2),c1(t)均是正的有界連續T周期函數，并滿足

考慮到是生物模型，故僅需研究方程的正解。因此可做下面限制：

1+δik>0，i=1,2；k=1,2,3,…。

而且，δik>0是物種數量突然增多，代表著對物種的“種植”，δik<0是物種數量突然減少，代表著對物種的“收割”。

此模型的環境干擾有兩種：白噪聲干擾和脈沖干擾。白噪聲干擾使物種連續地變化，而脈沖干擾使物種離散地變化。

此外，這里假定存在正整數p，使得

tk+p=tk+T,δi(k+p)=δik，k∈Z+。

不失一般性，假設

[0,T)∩{tk,k∈Z}={t1,t2,…,tp}。

2 系統正解存在唯一性

定義1[7]考慮一個帶有脈沖的隨機微分方程

(2.1)

1)x(t)是適應的并且在(0,t1)和(tk,tk+1),k∈N+上都連續，而且F(t,x(t))∈L1(R+;Rn),G(t,x(t))∈L2(R+;Rn)。其中若有f(t)∈Lk(R+;Rn)，則

3) 對幾乎每個t∈R+ k，x(t)滿足與(2.1)等價的積分方程，并滿足t=tk,k∈Na.s.時的脈沖條件,則x(t)是系統(2.1)的解。

證明：首先，考慮如下無脈沖項模型

(2.2)

下面證明Ai(t)均是T-周期連續函數。

對于任意t，存在整數n，使得nT

由tk+p=tk+T,δi,k+p=δik，得

tk+np=tk+(n-1)p+T=…=tk+nT,δi,k+np=δi,k+(n-1)p=…=δik。

(2.3)

由[0,T)∩{tk}={t1,t2,…,tp}，存在l∈{1,2,…,p}，使得

(tl+np,tl+1+np,…,tp+np∈[t,(n+1)T)，
t1+(n+1)p,t2+(n+1)p,…,tl-1+(n+1)p∈[(n+1)T,t+T)。)

(2.4)

由式(2.3)，(2.4)得

故

Ai(t)均是T-周期連續函數，證畢。

然后令x(t)=A1(t)y1(t),y(t)=A2(t)y2(t)。則易知x(t),y(t)在t∈(tk,tk+1)上均連續，k=0,1,2,…,t0=0。 那么當t∈(tk,tk+1)時，有

dx(t) =y1(t)dA1(t)+A1(t)dy1(t)

=x(t)(a1(t)-b1(t)x(t)-c1(t)y(t))dt+σ1(t)x(t)dB1(t)。

且有

同理，y(t)在t∈(tk,tk+1)滿足

而且

綜上可知，(x(t),y(t))是滿足系統(1.1)的解，即系統(1.1)存在解(x(t),y(t))。

最后，證明系統(1.1)解的非負唯一性[9]。

取(u(t),v(t))，滿足

x(t)=eu(t),y(t)=ev(t)。

則在t∈[0,t1]上對x(t),y(t)運用It公式得

易知上面方程滿足利普希茨條件，存在唯一的解(u(t),v(t))。而由于x(t)=eu(t),y(t)=ev(t)，則(x(t),y(t))為系統(1.1)在t∈[0,t1]上的唯一正解。

同樣在t∈(tk,tk+1](k=1,2…)時，運用It公式得

同樣，上面方程滿足利普希茨條件，存在唯一的解(u(t),v(t))。則(x(t),y(t))為系統(1.1)在t∈(tk,tk+1](k=1,2…)上的唯一正解。

定理證明完畢。

3 滅絕與持久的條件

為了后面分析的方便，此處做一些記號。若f(t)是可積的，定義

若f(t)是有界的，定義

定理3.1若滿足

則系統(1.1)中的兩種群最終將滅絕。

證明：對于系統(2.2)，運用It公式有

兩邊同時積分并除以t，有

由鞅的強大數定律得

因此有

定理3.2若滿足

則在系統(1.1)中，捕食者最終將滅絕，食餌數量最終將持久。

證明：由定理3.1可知：

捕食者最終將滅絕，下面證明食餌數量的持久性。

等式兩邊同時積分并除以t有

(3.1)

由定理3.1得

那么，方程(3.1)變為

整理可得

可知食餌數量持久，所證成立。

定理3.3若滿足

則在系統(1.1)中，捕食者與食餌數量最終將持久。

證明：在此定理條件下也可得定理3.2中的(3.1)式，對t取極限整理得：

則

由于x(t),y(t)均為非負值，故二者至少有一方種群密度持久。

假設存在t0使得x(t0)=0，由系統(1.1)知當t>t0時必有y(t)=0，兩種群均滅絕，與結論有矛盾,故對所有t>0都有x(t)>0，那么種群密度x(t)將持久。

等式兩邊同時積分并除以t，有

對t取極限整理有

那么

由于對所有t>0都有x(t)>0，且x(t)持久，則x(t)必有下界x0>0，則

4 數值模擬和結論

為驗證前面的分析，對系統(1.1)進行數值模擬。

此模型可應用于生物入侵的例子。例如澳洲的兔災，1859年，25只歐洲兔子被帶入澳洲供人打獵，但后來兔子沒有天敵，卻有豐富的青草，繁殖過快，給生態帶來了危害。這時人們希望兔子種群能滅絕，青草被保護起來。那么模型中的捕食者就是兔子，食餌是青草，環境干擾是白噪聲干擾，而脈沖干擾就是人類的干預。為了實現研究目的,由定理3.2可知，可通過人為干預，大量捕殺兔子，設法滿足定理3.2中的條件，則最終兔子會滅絕，且青草會持久生存。

在人類干預之前，可看作是脈沖很小的模型，而且是適用一般的隨機模型，主要是隨機因素對模型的影響，不少學者已對此進行過大量研究，在此主要研究脈沖因素對生物入侵的影響。因此可取(x0,y0)=(3,0.1)，a1(t)=0.35+0.1sin(πt/3)，b1(t)=0.1+0.05sin(πt/3)，c1(t)=0.2+0.2sin(πt/3)，a2(t)=0.2+0.1sin(πt/3),σ1(t)=σ2(t)=0.01+0.01sin(πt/3),b2(t)=0.1+0.1sin(πt/3)。則有n=p=6。首先看脈沖影響較小的時候，可令：

δ1k(t)=-0.05+0.05sin(πk/3),δ2k(t)=0.05sin(πk/3),tk=k。

式中的-0.05反映了環境在一定程度上受到了污染，食餌作為食物鏈的底層物種首當其沖，而對于入侵的捕食者來說則影響較小，故而產生兩種群脈沖項的差異。模擬程序見附件1[12]，模擬結果如圖1所示。

圖1 無人類干預時食餌和捕食者的種群密度變化的對比

由參數計算有

由定理3.3知，兩種群密度均為持久的，此結論與圖1的結果相同。

此處食餌為植被或是食物鏈的低端物種，生態系統中原來必然存在一些以其為食的消費者，而此處食餌種群密度保持在正常水平的1/6左右，數量變化過大，長久處于此狀態，生態系統必然遭到嚴重破壞。

研究目標是在食餌數量為正常水平的基礎上，使入侵的捕食者滅絕。因此，可以改變脈沖項，脈沖項可視為人類對入侵物種的干擾，對食餌不構成干擾。考慮到實際情況更多是，只有當外來物種繁殖生長影響生態環境時，人類才會意識到物種的入侵，故有時間上的延遲，將捕食者的脈沖項修改為

δ2k(t)=-0.25×(k>15)+0.05×sin(πk/3)。

其中(k>15)為邏輯語言，當k>15時，(k>15)=1，當k≤15時，(k>15)=0。這個脈沖項的意思是在第16周期時，人類開始對入侵者進行干預，干預強度為每次使其數量減少1/4。

同樣用Matlab得到人類干預時食餌和捕食者的種群密度變化的對比如圖2。

圖2 人類干預時食餌和捕食者的種群密度變化的對比

由參數計算有

則由定理3.2知，此模型捕食者最終將滅絕，食餌數量最終將持久，與圖2的結果相符。

圖2為在第16周期人類對入侵生物進行干預，在16周期前，食餌種群密度最小值接近1，為正常密度的1/3左右。考慮到生態系統的自我恢復能力，食餌種群密度最小值會有一個臨界比例值，而此臨界值會隨著生態系統復雜度的不同而不同。假設一個生態系統的此臨界值為P0。通過調試Matlab可得表1數據值。

表1 人類不同時間干預時食餌種群的最低臨界值

再通過臨界值P0與P的比較得出一個臨界周期k0。因此，人類要在生物入侵后物種成長的第k0周期前及時干預，才能保證生態系統的可逆恢復。