帶有時(shí)變時(shí)滯和未知死區(qū)的純反饋系統(tǒng)的自適應(yīng)跟蹤控制

，

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266590)

近幾年，反步法和模糊邏輯系統(tǒng)在解決非線性自適應(yīng)控制系統(tǒng)中得到了迅速發(fā)展并取得了許多重要成果。實(shí)際的非線性系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)時(shí)變時(shí)滯和未知死區(qū)的情況, 導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定而造成較大誤差。針對(duì)非線性系統(tǒng)中穩(wěn)定性分析和控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，研究者們提出了許多先進(jìn)控制方法，如模糊控制[1- 3]、滑模控制[4-5]和自適應(yīng)控制[6-8]，這些方法通過(guò)在線學(xué)習(xí)調(diào)節(jié)自適應(yīng)參數(shù)，驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)滿(mǎn)足預(yù)期的要求。作為一個(gè)結(jié)構(gòu)化策略，自適應(yīng)同步控制使控制系統(tǒng)的分析和綜合變得更清晰、更方便，但未知非線性函數(shù)的存在使得控制器的設(shè)計(jì)極為困難。由于模糊邏輯系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠很好地處理未知非線性函數(shù)，可通過(guò)模糊邏輯系統(tǒng)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)設(shè)計(jì)自適應(yīng)同步控制，相應(yīng)的適應(yīng)性模糊和自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方案被提出[9-12]。

在實(shí)際的應(yīng)用系統(tǒng)中，經(jīng)常出現(xiàn)的時(shí)間延遲會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)控制效果不佳、甚至系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況出現(xiàn)[13-14]。因此，在控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程中采取一個(gè)系統(tǒng)約束是非常重要的。文獻(xiàn)[15]提出了一個(gè)基于觀測(cè)器的非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊控制方法。結(jié)合帕德近似和自適應(yīng)反步法，文獻(xiàn)[16]提出了一種新穎的控制方法來(lái)處理輸入時(shí)滯的問(wèn)題。不同于上面的結(jié)果，對(duì)于嚴(yán)格反饋形式下的多輸入多輸出時(shí)變時(shí)滯控制系統(tǒng)，文獻(xiàn)[17]提供了一個(gè)模糊跟蹤控制方案。

另外，死區(qū)也是實(shí)際應(yīng)用中常見(jiàn)的非線性現(xiàn)象，它會(huì)大大降低系統(tǒng)的控制性能，甚至能夠?qū)е孪到y(tǒng)不穩(wěn)定。死區(qū)問(wèn)題一直受到廣泛的關(guān)注[18-20]。文獻(xiàn)[21]對(duì)非對(duì)稱(chēng)死區(qū)輸入的非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊跟蹤控制問(wèn)題進(jìn)行了研究。當(dāng)不可測(cè)的狀態(tài)變量和死區(qū)同時(shí)發(fā)生時(shí)，文獻(xiàn)[22]研究了一類(lèi)嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)形式中的基于觀測(cè)器的自適應(yīng)模糊跟蹤控制方案。對(duì)于局部非線性的死區(qū)系統(tǒng)，文獻(xiàn)[23]設(shè)計(jì)了3個(gè)不確定多變量非線性系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)控制器。但由于很多實(shí)際過(guò)程可以表示為不確定的純反饋系統(tǒng)，現(xiàn)有的關(guān)于嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的研究成果不能用于這種系統(tǒng)不確定的純反饋形式的非線性，因?yàn)樵趇階微分方程中會(huì)出現(xiàn)狀態(tài)變量xi+1。基于模糊近似，文獻(xiàn)[24]和[25]關(guān)于純反饋系統(tǒng)可測(cè)量的狀態(tài)變量和不可測(cè)的狀態(tài)變量分別提出了一種自適應(yīng)跟蹤控制方法。為了探討一類(lèi)純反饋非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊控制時(shí)變時(shí)滯和死區(qū)的問(wèn)題，在控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，可以通過(guò)模糊邏輯系統(tǒng)近似系統(tǒng)中存在的未知函數(shù)，使用死區(qū)斜坡的信息來(lái)解決死區(qū)問(wèn)題。

本研究考慮時(shí)變時(shí)滯和死區(qū)同時(shí)存在于不確定純反饋系統(tǒng)的情況，使用中值定理解決純反饋結(jié)構(gòu)中設(shè)計(jì)控制器的困難，使用自適應(yīng)反步法[26-28]設(shè)計(jì)了一個(gè)虛擬控制輸入信號(hào)，并利用模糊邏輯系統(tǒng)來(lái)解決系統(tǒng)的未知函數(shù)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)模糊控制器來(lái)避免未知死區(qū)的干擾。該控制方案在保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)半全局一致有界的同時(shí)，使系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂到原點(diǎn)的一個(gè)小鄰域內(nèi)。

1 問(wèn)題分析

考慮下面的非線性隨機(jī)純反饋系統(tǒng)

(1)

(2)

其中，v表示死區(qū)特征輸入，mr和ml表示死區(qū)的右斜率和左斜率，br和bl表示非線性輸入的間斷點(diǎn)。

定義1[9]對(duì)于任意函數(shù)V(x,t)∈C2,1和隨機(jī)微分方程 (1)，定義微分算子

(3)

其中Tr(A)是A的跡。

(4)

則對(duì)于任一x0∈Rn，有

(5)

假設(shè)1[12]存在正常數(shù)bm和bM，使得0≤bm≤min{ml,mr}≤max{ml,mr}≤bM，參數(shù)mr和ml是未知的正常數(shù)。

方便起見(jiàn)，根據(jù)文獻(xiàn)[12]，死區(qū)(2)的輸出能夠表示成

u=mv+d。

(6)

其中，

根據(jù)假設(shè)1，有|d|≤d*，其中d*=bMmax{|br|,|bl|}。

(7)

引理3[12](楊氏不等式) 對(duì)?(x,y)∈R2, 有

(8)

其中，ε>0,p>1,q>1, 并且(p-1)(q-1)=1。

在反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中，將用模糊邏輯來(lái)近似系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù)。模糊邏輯系統(tǒng)函數(shù)[26]可以描述為：

y(z)=WTΓ(z)。

(9)

其中，z∈ΩZ?Rq是狀態(tài)輸入矢量,q是模糊邏輯系統(tǒng)的輸入維度,權(quán)向量W=[w1,w2,…,wl]T∈Rl,l>1是節(jié)點(diǎn)數(shù),φ(z)=[φ1(z),φ2(z),…,φl(shuí)(z)]T表示基函數(shù)向量,φi(z)表示高斯函數(shù)。

(10)

其中，μi=[μi1,μi2,…μiq]T，i=1,…,l，表示鄰域的中心，η為高斯函數(shù)的廣度。模糊邏輯函數(shù) (9) 能夠逼近緊集ΩZ?Rq上的任意連續(xù)函數(shù)

f(z)=W*TΓ(z)+δ(z),?z∈ΩZ∈Rq，

(11)

(12)

(13)

2 自適應(yīng)模糊控制方案

(14)

(15)

其中，λi>0，b>0，ai>0和σ>0均是已知的常數(shù)，

在接下來(lái)反步法的每一步中, 用到以下坐標(biāo)變換

z1=x1-yd,zi=xi-αi-1,i=2,…,n。

(17)

第1步：根據(jù)坐標(biāo)變換(17)，有

(18)

考慮下面的李雅普諾夫-克拉索夫斯基函數(shù)

(19)

其中

(20)

r是一個(gè)已知的正常數(shù)。

則

(21)

其中

(22)

根據(jù)引理2和不等式(8)得：

(23)

(24)

把式(22)、(23)和(24)代入式(21)得

(25)

根據(jù)假設(shè)2，得到

(26)

則(25)可簡(jiǎn)化為

(27)

(28)

(29)

代入式(28)得

(30)

根據(jù)公式(14)，得

(31)

把式(31)代入式(30)得

(32)

第i(2≤i≤n-1)步：令

根據(jù)坐標(biāo)變換(17)，zi=xi-αi-1。類(lèi)似于第1步的步驟，得到

(33)

其中，

第n步：在這一步中, 將構(gòu)造一個(gè)實(shí)際控制信號(hào)v。令Vn=Vn-1+Vη n，其中

由坐標(biāo)變換(17)知，zn=xn-αn-1，其微分為

(34)

其中

(35)

Vn的微分可以表示成

(36)

其中

(37)

根據(jù)引理2和楊氏不等式(8)得

(38)

(39)

(40)

把式(35)和式(37)～(40)代入式(36)得

(41)

(42)

利用模糊邏輯系統(tǒng)，令

(43)

(44)

由公式(6)和(15)可得

(45)

(46)

把公式(6)和式(43)～(46)代入式(42)得

(47)

3 穩(wěn)定性分析

令

則根據(jù)公式(32)、(33)和(47)，有

(48)

由Kn的定義，由引理4得

(49)

進(jìn)而公式(48)可以寫(xiě)成

LV≤-a0V+b0。

(50)

由引理1得

(51)

又

(52)

則

(53)

根據(jù)式(52)和(53)，得到

(54)

因此，根據(jù)以上的反步法設(shè)計(jì)，一個(gè)自適應(yīng)模糊控制方案完成。根據(jù)不等式(53)、(54)和V的定義，在|zj|<0.255 4vj條件下，自適應(yīng)模糊系統(tǒng)(1)中的所有信號(hào)半全局一致有界，并且，跟蹤誤差zj收斂到緊集

(55)

根據(jù)以上分析和討論，得出定理1。

定理1對(duì)于帶有時(shí)變和未知死區(qū)的非線性隨機(jī)純反饋控制系統(tǒng)(1)，基于模糊邏輯系統(tǒng)近似，利用反步技巧，通過(guò)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫-克拉索夫斯基函數(shù)(19)，所提出的帶有恰當(dāng)虛擬控制信號(hào)(14)、實(shí)際控制信號(hào)(15)和自適應(yīng)律(16)的控制方案保證了閉路系統(tǒng)(1)的所有控制信號(hào)半全局一致有界，并且跟蹤誤差zj收斂到緊集(55)。

4 仿真例子

下面給出一個(gè)數(shù)值例子來(lái)驗(yàn)證所提出的控制方案的可行性。考慮下面的二階隨機(jī)純反饋控制系統(tǒng)：

其中u表示系統(tǒng)死區(qū)(2)，參數(shù)mr=ml=1.5，bl=br=1。

本文的研究目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)模糊控制信號(hào)v，使得系統(tǒng)所有信號(hào)半全局一致最終有界，并且系統(tǒng)輸出y跟蹤到一個(gè)設(shè)定的參考信號(hào)yd，其中yd=sin(0.5t)+0.5sin(1.5t)。仿真過(guò)程中，設(shè)定虛擬控制信號(hào)(14)，實(shí)際控制信號(hào)(15)和自適應(yīng)律(16)中的參數(shù)分別為λ1=λ2=2.5，a1=4，a2=0.5，σ=0.03，b=1。初始條件x(0)=[0.2,0.3]T，θ(0)=0.01，z1=x1-yd，z2=x2-α1。

圖1 y(t)和yd(t)的軌跡Fig.1 Trajectories of y(t)and yd(t)

圖2 狀態(tài)變量x2(t)的軌跡Fig.2 Trajectory of state vector x2(t)

圖3 自適應(yīng)參數(shù)θ(t)的軌跡Fig.3 Trajectory of adaptive parameter θ(t)

圖4 控制信號(hào)v(t)的軌跡Fig.4 Trajectory of control signal v(t)

從仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)輸出y跟蹤到一個(gè)設(shè)定的參考信號(hào)yd，而且系統(tǒng)所有信號(hào)半全局一致有界。

5 結(jié)論

本研究對(duì)于帶有時(shí)變時(shí)滯和未知死區(qū)的純反饋非線性隨機(jī)系統(tǒng)，提出了一個(gè)自適應(yīng)模糊控制方案。通過(guò)利用模糊邏輯系統(tǒng)近似來(lái)識(shí)別系統(tǒng)中的未知函數(shù)，基于一個(gè)適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫-克拉索夫斯基函數(shù)，結(jié)合自適應(yīng)反步法,解決了系統(tǒng)中的時(shí)變時(shí)滯和未知死區(qū)問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖赃m應(yīng)模糊控制器，保證了隨機(jī)純反饋控制系統(tǒng)的所有信號(hào)半全局一致有界, 跟蹤誤差最終收斂到原點(diǎn)的一個(gè)小鄰域。