立足教材 借題發揮

廣東 林國紅

立足教材，選編教材原題，生成教材變題，是高考命題的一個不爭的事實，這體現了高考命題的公平性和基礎性原則.所以教師要善于鉆研教材，用“慧眼”去發現有典型性、可拓展性的例題或習題，善于作解后反思，方法的歸類，規律的總結與技巧的揣摩，再進一步對例、習題進行挖掘、拓展、引申，擴大例習題的輻射面.這樣可以優化學生的知識結構，培養思維的靈活性，同時也能提高復習的效率.

下面筆者以教材中一道例題為例，結合相應的高考題，說明立足教材，重視課本例、習題的重要性，并歸納一些相關的性質與試題，供讀者參考.

一、例題呈現與分析

(人教A版選修2-1第69頁例4)斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A,B兩點，求線段AB的長.

【分析】題目結構非常簡單，題干也短.知識方面主要考查拋物線的相關概念，直線方程，直線與拋物線相交，弦長的相關運算；思想方面主要考查轉化與化歸，數形結合等思想.綜合考查學生的邏輯思維、轉化、推理論證及運算求解等方面的能力，例題的思維過程和運算過程較好地體現了能力立意的思想，體現了對解析幾何的核心內容和基本思想方法的考查.

二、一題多解，關注例題的教學價值

【分析1】易知拋物線y2=4x的焦點F(1,0)，所以直線l的方程為y=x-1，與拋物線聯立，可以求得A,B兩點的坐標，再利用兩點間的距離公式可以求出|AB|.這種方法思路簡單，但是需要較為復雜的代數運算.

【分析3】易知拋物線的準線為x=-1.設A(x1,y1),B(x2,y2)，分別作AA1,BB1垂直于準線，垂足為A1,B1，由拋物線的定義可知，|AF|=|AA1|=x1+1，|BF|=|BB1|=x2+1，所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，再利用直線l的方程y=x-1，與拋物線y2=4x聯立，消去y，得到關于x的方程，用韋達定理求得x1+x2代入即可.本法數形結合，巧妙利用拋物線的定義，運算量少，是拋物線中的常見解法.

限于篇幅，詳細解答過程在此略去.另外，本題還有其他解法，也不再例舉.

【評注】從不同的思維角度分析同一道題目，得到不同的解題方法，這種一題多解的訓練，增加了題目涉及的知識廣度，以一帶多，減少了考查同樣多的知識所需的題量.從數學知識的角度來看，通過解題體會知識之間的轉化過程，發現知識的相互聯系，構建知識網絡體系.在教學中盡可能多的從深度和廣度上挖掘教材習題涉及的數學內容，并引導學生對它們進行梳理、歸類、比較和優化.這樣，在學習基礎知識、掌握基本技能的同時，能使學生將知識融會貫通，開闊眼界，活躍思維.

三、一題多變，關注例題的變式拓展價值

變式1.(2018·全國卷Ⅱ理·19)設拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點，|AB|=8.

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.

變式2.(2014·全國卷Ⅱ文·10)設F為拋物線C:y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點，則|AB|=

( )

可以看出這兩道高考試題的“母題”均是上述教材中例4.變式1(Ⅰ)將例4的條件與結論互換；變式2將例4的斜率改成傾斜角，本質是一樣的.所以這兩道高考題同樣可以用例4的幾種方法來解答，另外也說明在高考的備考中，適當加入高考真題的訓練的必要性，特別是近五年的高考真題.

【評注】數學的魅力在于“變化”，在變化中求得重復，在重復中獲取變化.有“變”才能“活”,變式、引申、推廣是促進理解，研究問題的常用手段，恰當的“變式”能避免學生在低層次重復，能使學生多角度、全方位地理解知識，思維能力得到拓寬和加強.所以數學教學不僅要解決問題，還要注重問題的變式拓展，要重視教材習題的引領作用，引導學生積極探索一題多變、一題多用；不但要挖掘知識內容，而且要優化例、習題效能，這樣既能鞏固基礎知識，開拓解題思路，又提高了發現問題、分析問題、解決問題的能力，同時達到舉一反三，觸類旁通的目的.

四、借題發揮，鏈接高考，總結性質，把握復習的側重點

拋物線是高中數學的重要內容之一，特別是與焦點弦有關的題型，因其內涵豐富，變化多，能與直線的傾斜角、向量(定比分點)、三角形面積等知識交匯，且解題的靈活性大，已成為高考中的重要考點，倍受命題者青睞.

為了凸現考法的有跡可循，把握復習的側重點，下面以教材中例4為“題根”，分類展示拋物線焦點弦的一些性質及近五年全國卷相應的高考試題.

設AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的一條弦，A(x1,y1),B(x2,y2)，直線AB的傾斜角為θ，O為坐標原點，如圖.

例1.(2016·全國卷Ⅲ文·20節選)已知拋物線C:y2=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點，交C的準線于P,Q兩點.若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ.

所以kFQ=kAR，即AR∥FQ.

例2.(2013·全國卷Ⅱ文·10)設拋物線C:y2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|，則l的方程為

( )

A.y=x-1或y=-x+1

例3.(2018·全國卷Ⅱ理·19)設拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點，|AB|=8.

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.

【解析】(Ⅰ)解法1：由題可知，F(1,0)，直線l的斜率不為0，故設直線l的方程為x=ty+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

因為|AB|=x1+x2+2=t(y1+y2)+4=4t2+4=8，且k>0，所以t=1，從而直線l的方程為x-y-1=0.

(Ⅱ)圓的方程(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

例4.(2017·全國卷Ⅰ理·10)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1,l2，直線l1與C交于A,B兩點，直線l2與C交于D,E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為

( )

A.16 B.14

C.12 D.10

例5.(2014·全國卷Ⅱ理·10)設F為拋物線C:y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為

( )

【性質5】以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.(此性質是人教A版選修2-1第81頁“復習參考題”B組第7題)

例6：(2018·全國卷Ⅲ理·16)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點，若∠AMB=90°，則k=________.

【解析】如圖，設AB的中點為E，過點A,B,E分別作準線l:x=-1的垂線，垂足分別為A1,B1,H.設A(x1,y1),B(x2,y2)，E(xE,yE).

由梯形的中位線定理與拋物線的定義可得，

同時點M(-1,1)在拋物線的準線l:x=-1上，所以有|ME|≥|HE|.

【評注】①上述高考試題有些有多種解法，這里僅提供一種；另外拋物線各個性質的證明不是很難，限于篇幅，在此不再給出.②從上面試題可以看出，拋物線中與焦點弦有關的問題是高考的重要考點，所以復習時要突出知識主干，扎實基礎，重視數學的基本能力與思想方法，重視知識的儲備和方法的積累，不但要掌握解題的常規做法，還應該熟記一些結論，才有可能縮短思維的長度，達到事半功倍的效果.

五、結束語

教材是編者集體智慧的結晶，是數學知識和數學思想方法的重要載體，又是教師的“教”與學生的“學”的主要資源，承載著新課程改革的理念，滲透著創新精神和實踐能力的培養，同時也體現著高考改革的發展方向.羅增儒教授說：教材是課程的載體，因此高考命題最具體、最方便的依據其實是教材.數學高考試題有“源于教材，高于教材”“題在書外，根在教材”的特點，年年歲歲題相似，歲歲年年意不同，但萬變不離其宗，“宗”就是教材.教材中的例、習題是經過編者精心設計的，具有典型性的范例作用，大多都蘊含著深刻的背景、豐富的數學思想，很多高考題是教材例題、習題的組合、加工、引申、拓展和類比，這充分體現教材是高考試題之根所在.