為何偏偏又是它
——“y2=4x”

廣東 楊偉達

每年高考題無不例外地引起教育同行高度的關注和熱議. 同樣，今年高考數學試題也如此. 下面是筆者對2018年全國各地高考數學考卷中有關拋物線“y2=4x”的比較和聯系，旨在尋找題型的規律，總結解題方法.

一、題目再現

( )

A.5 B.6

C.7 D.8

2.(2018·北京卷文·10)已知直線l過點(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2=4ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為________.

3.(2018·全國卷Ⅲ理·16)已知點M(-1,1)和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點.若∠AMB=90°，則k=________.

4.(2018·全國卷Ⅱ·理19，文20)設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8.

(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程.

5.(2018·北京卷理·19)已知拋物線C：y2=2px經過點P(1,2).過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.

(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍；

6.(2018·浙江卷·21)如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.

(Ⅰ)設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；

縱觀上面各地考卷試題，離不開一條熟悉的拋物線：y2=4x，離不開直線與拋物線相結合這一永恒主題.

二、解答過程與思路剖析

對一道高考試題的求解，關鍵是審題！題目已知條件、結論、已知量、未知量、常見的相關類型題及解題思路等都需要在做題前一一弄明白.

1.方程組+向量坐標運算

分析題設沒有涉及長度和夾角，所以可把向量轉化為坐標求解，同時涉及直線與拋物線的位置關系，通常列方程組解決問題.

解：由拋物線C：y2=4x可得F(1,0)，

解得x1=1，x2=4，分別代入y2=4x，

因為y>0，所以y1=2，y2=4，

2.點代法

分析本題涉及直線與拋物線的弦長問題，因該直線垂直于x軸，兩個交點為特殊點，用代入法可求得.

3.構造圓+點差法

分析本題從∠AMB=90°出發，構造以AB為直徑的圓與準線相切，“設而不求”即可求k；也可從列方程組出發，轉化為一元二次方程，用坐標表示∠AMB=90°，求得k.

解：如圖，過點M(-1,1)作一條垂直于x軸的直線l,則直線l為拋物線C：y2=4x的準線，依題 ∠AMB=90°可構造一個以AB為直徑的圓N且與準線相切，圓心N為AB的中點，所以yM=yN=1，

設拋物線上點A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因為N是AB的中點，所以y2+y1=2，

所以k=2.

注另一解法是從方程組出發，轉化為一元二次方程，利用根與系數的關系，用坐標表示∠AMB=90°即可求得直線的斜率k.

4.方程組+拋物線定義

分析此題涉及直線與拋物線的弦長問題，通過列方程組轉化為一元二次方程，利用拋物線的定義，“設而不求”即可. 第二問涉及過兩動點、且與準線相切的圓方程問題，利用圖形的幾何性質，“設而又求”求得圓心和半徑，問題解決.

解：(Ⅰ)由拋物線C：y2=4x可得F(1,0) ，設A(x1,y1),B(x2,y2),

所以直線l的方程y=k(x-1)，

化簡為k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

由拋物線的定義可知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2,

由|AB|=8得x1+x2=6，

所以直線AB的方程為y=x-1. ①

(Ⅱ)如圖，不妨設圓心坐標為N(a,b),半徑為r=a+1，

由x1+x2=6得x中點=3，代入①，求得y中點=2,

所以中點M(3,2)，直線AB的中垂線為x+y-5=0.

圓心N在直線AB的中垂線上，則有a+b-5=0，

解得a=3,b=2,r=4，或者a=11,b=-6,r=12，

所以圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

5.點代法+方程組

分析本題涉及直線與拋物線的位置關系，聯立方程組轉化為一元二次方程即可.第二問涉及向量，需要用坐標形式表示. “設而不求”、代入、消元即可求證.

解：(Ⅰ)拋物線y2=2px過點P(1，2)，

所以4=2p，解得p=2，所以拋物線方程為y2=4x．

由題意可知，設過(0,1)的直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+1(k≠0)，

依題意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0，解得k<1(k≠0)，

所以直線l斜率的取值范圍是(-∞，-3)∪(-3，0)∪(0，1).

(Ⅱ)證明：不妨設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

6．點代法+列方程組

分析本題主要考查橢圓、拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系. 第一問，通過“設而不求”“消元轉化”即可求證；第二問，利用第一問的結果，把三角形面積用坐標表示，代入并轉化為一元二次函數求最值,即可將問題解決.

因為PA，PB的中點在拋物線上，

所以y1+y2=2y0．

因此，PM垂直于y軸．

點評縱觀前面幾道答案，全國Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷的解析幾何試題給人很傳統的感覺，都是平時見過的常規題，運算量不大，其解法在教材中都能找到，側重考查主干知識和核心思想；而地方卷(北京卷、浙江卷等)盡管與全國卷一樣注重數學本質、核心思想、通性通法，但是涉及的動點較多，目標設置有新意，需要考生在運算、消元方面能力更強，需要考生“忙而不亂”“亂而有序”，否則霧里看花、無從下手！

三、追根溯源

源于課本(高中數學人教A版選修2-1課本第69頁例4)斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長.

有關拋物線“y2=4x”模型，經筆者查找，課本第69頁例4、第71頁例6、第72頁練習第3題及第4題、第73頁習題第5題、第80頁第11題都涉及它.在拋物線的教學課堂中，它出現的頻率很高，主要考查了直線與拋物線的位置關系、拋物線定義及性質，主要涉及參數、最值、弦長、方程等相關問題.在解題方法上強調高中數學的通性通法，即聯立方程組轉化為一元二次方程，用判別式和韋達定理化簡求解.

源于高考1.(2017·全國卷Ⅰ理·10)已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D,E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為

( )

A.16 B.14

C.12 D.10

考點分析考查了直線與拋物線相交，求弦長和最小值問題. 對拋物線的弦長問題，要抓住拋物線定義，利用直線與拋物線聯立方程組，轉化為一元二次方程，用判別式、韋達定理求解.這些都是高中數學的通性通法，需要重點掌握；對最值問題，通常想到用函數或者基本不等式來求解.

點評當求得|AB|+|DE|最小值為16時，發現兩直線的斜率分別為k=±1，此時|AB|=8，|CD|=8，這就是課本例題4的解法和答案，答案是巧合還是故意設置？這或許是課本例題的延續吧.在強調命題改革的今天，通過改編、創新等手段賦予課本的例題、習題新的生命，這依然是高考命題專家的一種喜好.

四、解后反思

1.與新課標吻合，突顯核心素養

數學素養是考生應具備的適應終身發展和社會發展需要的數學領域必備品格和關鍵能力.必備品格是指具有必要的數學知識，具有數學應用意識、數據意識、和計算意識.關鍵能力包括空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力、數據處理能力，數學抽象和概括能力、數學表達和交流能力.

《普通高中數學課程標準(實驗)》明確提出要培養考生“提出問題、分析問題、解決問題”的能力.傳統意義上的難題主要集中在解析幾何和函數這兩大知識塊.而今年高考中，解析幾何試題的難度略有下降，試題的命制依綱按本，注重數學本質，突出通性通法，符合新課程理念，很好地將知識、思想方法、能力、數學文化、應用意識、創新意識高度融合，題型常見，創新背景不偏不怪，易讀懂，運算量不大，解決問題的方法都是高中數學的核心思想.重點考查主干知識，突出思維能力和運用能力.

2.挖掘教材資源，尋找子母題

當前教育的一個現象：許多學生參加完中考或高考后發現課本跟三年前入學派發時的課本一樣新！是考生的選擇性錯誤還是教師的引導性錯誤？什么講學稿、導學案、校本教材占據考生的大部分時間，從而使得考生無暇顧及課本，造成兩者不可兼得的事實.而高考試題常考常新，不可能一模一樣，為了避免考生題海戰，必須關注、尋找子母題，在子母題中合理的改變條件和求解目標(變條件、變結論、變參數、變方法)，有利于提升考生對核心問題的把握能力，有利于提升考生的思維品質，這需要教師精選好題，深入剖析，合理變式.

子母題所具備的條件：

(1)以聯想拓展學生思維

以子母題為原型，引導考生發現問題，對知識點、思想方法的聯想，從靜態到動態，不斷發散考生的思維，不斷誘發考生從題設的已知去拓展，去豐富，去完善已有的知識.

(2)以問題引領有效課堂

它具有深刻的歷史背景和現實意義(主要指教材教參及高考背景)，具備解決類似問題的通性通法，同時也具有自身的一些特性.教師層層設置問題，為學生提供由易到難，由淺入深的知識鏈，讓考生經歷綜合題的生成過程.

子母題發揮作用：

它具有代表性、典型性、科學性.在課堂教學中，從子母題出發，引導學生歸納總結解題方法并能熟練掌握，就會大大激發學生的成就感和獲得感，由于得到深刻的思考，不少考生在考場中容易找到解題的方案，攻克平時沒有頭緒的難題，無形中消除了懼怕心理，從而提高考生解決問題的能力.

拋物線“y2=4x”具備子母題的條件：

(1)它不是二元二次齊次方程，二次項的系數為1，比橢圓、雙曲線方程來得更簡單.而且它的焦點坐標和準線都是0或1的整數，便于運算；(2)用好拋物線定義，可以替換線段的長度.在降低難度、減少運算的情況下，拋物線y2=4x是個最好的選擇；(3)它與直線相交，聯立方程組轉化為一元二次方程時，各項系數來得簡單、容易些，同時它還與梯形、三角形、圓等都有很好的結合點.