高等數學教學結構的設計與優化

王彩玲 葉 昕

（吉林大學數學學院，吉林 長春 130012）

高等數學是大學很重要的一門基礎課，無論是在工業，農業，國防，科學研究等領域都有著廣泛地應用，數學知識的掌握也是學生學好后續課程的基礎，因而全面提高教學質量，優化教學結構，培養創新人才是目前高等數學教學改革的首要任務。

一、優化高等數學教學內容與創新教學手段相結合

教材是課堂教學的主要依據，教材內容的編寫既要利于教師教學同時還要方便于學生理解，有些教材的內容編寫非常晦澀，學生不易讀懂，內容掌握起來也非常困難，數學知識較抽象、枯燥，因此高等數學教材內容的編寫對于學生學好數學非常重要。

21世紀是高科技時代，我們培養的是德才兼備的創新人才，這就要求教學內容和教學手段現代化，激發學生學習高等數學的興趣，提高大學生學習效率。我們可以根據高等數學教學內容，將傳統的教學方法與多媒體相結合，優化教學結構，達到最優的教學效果。（1）傳統的教學與多媒體教學手段相結合可以使枯燥高等數學教學更加生動、形象、具體，將問題化繁為簡，化難為易，便于學生理解。例如，利用定義計算定積分并演示定積分其積分和之間的關系。我們可以采用多媒體教學選取動態演示過程的幾幅圖像，輸出結果：如圖1至圖6，從圖中可以看出，當分割越來越細時，小矩形面積之和與曲邊梯形面積越來越接近。由此可見，用積分和的極限定義曲邊梯形的面積是一個自然的想法。從輸出的結果可以看出，任何兩個數據都不完全相同，但是它們之間的差異不大，隨著n的增大，運算結果越來越接近2，因此我們認為這種形象具體的教學使得學生加深了對定積分定義的理解。（2）在課堂教學中采用現代化教學手段培養學生的想象力，擴展學生的思維空間。例如，求 ∫（sin2x+x）dx的不定積分，并說明不定積分的幾何意義。從圖7可以看出，不定積分 ∫（sin2x+x）dx在幾何上表示函數f（x）=sin2x+x的積分曲線族，而f（x）正是積分曲線的斜率，積分曲線族中的每一條曲線在x=x0處的切線都有相同的斜率f（x0），在該點積分曲線的切線互相平行，并且曲線上縱坐標之間僅相差一個常數。

圖1 n=9積分和圖像

圖2 n=25積分和圖像

圖3 n=41積分和圖像

圖4 n=57積分和圖

圖5 n=73積分和圖像

圖6 n=89積分和圖像

圖7

圖8

二、加強對學生數學能力培養，全面提高教學質量

在教學中將抽象的數學內容形象化，具體化從而提高學生的學習效率，培養學生的邏輯思維能力。通常我們把微分方程寫成y'=f(x，y)的形式，在某個區域D內中的任何一點（x0，y0），都可以找到微分方程的解y（x），其在該點的斜率為f（x0，y0）如果找出足夠多的點，則在這個區間內就可以看出這個微分方程解的趨勢，這個圖形稱為微分方程方向場。當代入初始條件時，就可以順著斜率的走向畫出符合初始條件的解。這種方法使我們用作圖法求微分方程的解。這樣抽象的數學內容就具體化，學生更易于接受，理解。例如，畫出y'=1-y2，y（0）=y0（y0=0.2，y0=1.8，）的方向場。解：設定平面上矩形區域根據微分方程右端函數f（x，y）=1-y2計算區域內任一點處未知函數的導數值大小，即函數曲線的切線斜率。從而確定對于切線的單位向量，繪制向量場。分別取初值y0=0.2，y0=1.8求解出函數，在向量場的圖形窗口中繪制出兩條曲線圖形。從圖8可以看出，當初始條件為y0=0.2時，這個微分方程的解介于-1與1之間；當初始條件為y0=1.8時，這個微分方程的解介于1與2之間；隨著x變大，解逐漸趨于1。而且微分方程的解與方向場的箭頭吻合。這種理論與圖形結合的方式極大地激勵了學生學習高等數學的積極性，從而培養學生分析問題，解決問題的能力。

三、在高等數學教學中堅持學生的主觀能動性與教師的主導作用相結合

1、在高等數學教學中培養學生有效的學習方法

教師的教學方法直接影響學生接受新知識，教師在教學中教的方法要符合學生學習的規律，教師的主導作用是為主體學生能夠很好的掌握知識服務的。教師在準備課程內容時要依據不同學生的差異性合理的安排教學內容，使得每個學生在課堂學習都能得到進步。在高等數學教學中除了要注重教學方法，更要注重理論與實踐相結合，動手與動腦相結合，培養學生學習高等數學的樂趣，加強學生學習高等數學的信心。在教學過程中對于學生提出的問題要及時解決，為了讓學生更好地掌握高等數學知識，課前讓學生做好預習，課堂上充分發揮學生學習的主觀能動性，培養他們樂觀的學習態度。

2、在高等數學教學中培養學生的創新思維能力

由于高等數學的內容比較抽象，所以教師在傳授知識的過程為了提高教學質量要充分發揮學生的主體作用及教師的主導作用。教學是通過教師與學生的雙邊互動來完成的，教師在講授的過程，沒有學生的積極互動課堂會變得沒有生氣，沒有教師的教，學生自學就會走很多彎路，因此要想將課堂教學搞好，師生密切雙方合作，教師在講授的過程中把學生的興趣引導到課堂上來，讓學生主動提出問題，積極發言，培養學生學習數學的熱情。教學過程中教師要注意學生的個體差異，實施因材施教。要想發揮學生的主體作用，關鍵是學生的“學”，一位優秀的教師要善于引導學生積極踴躍的參與課堂活動，教師的教這個外因是通過學生的學這個內因才能發揮作用，這時教師的主導作用才有意義，才能提高教學質量，培養學生的創新思維能力，才能實現教與學的真正統一。

四、在高等數學教學中通過開設數學實驗課提高教學質量

在高等數學教學中開設數學實驗課，數學實驗要與高等數學教學同步，通過畫圖加深學生對函數概念的理解，觀察函數的特性，建立數形結合的思想。布置一些課后作業，引導學生用數學實驗解決生活中的實際問題。如讓學生用迭代數列Pn｛｝模型Pn+1=re-pn/kPn通過數學實驗解決生活中的混沌問題，混沌學告訴我們，簡單的系統可能產生復雜的行為，激烈的變化不一定有激烈地原因。混沌學中著名的蝴蝶效應：一只小小的蝴蝶在巴西上空扇動翅膀，可能在一個月后的美國德克薩斯州會引起一場風暴。表面上看無規律，不可預測的現象，實際上有它自己的規律，混沌學的任務就是尋求混沌現象的規律，加以處理和應用。現今的DNA技術，生殖技術，實際上就是生物重組與繁衍，就是混沌學的廣泛應用。這樣可以使得學生所學的數學內容很好的與現實生活聯系起來，進而提高學生解決實際問題的能力。