初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例嘗試

祖旭東

開展數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)不僅是學(xué)習(xí)方式的改變，建模的過程可以為不同水平的學(xué)生提供體驗(yàn)成功的機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)建模既可以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)觀和方法論，又可以促進(jìn)學(xué)生樹立面向?qū)嶋H的眼光和觀念，增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)對教師的成長和專業(yè)發(fā)展、更新教育觀念、主動(dòng)參與并推進(jìn)素質(zhì)教育有著越來越重要的作用，教師在教學(xué)中應(yīng)抓好數(shù)學(xué)建模的啟蒙教育。

數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，數(shù)學(xué)課程應(yīng)體現(xiàn)“問題情境—建立模型—理解—應(yīng)用與拓展”，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感、態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。根據(jù)初中生的身心發(fā)展水平和已掌握的知識，初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)適宜起點(diǎn)低一些、步子小一些。低起點(diǎn)，就是根據(jù)學(xué)生的已有水平和課程標(biāo)準(zhǔn)要求，降低教學(xué)起點(diǎn)，便于全體學(xué)生都能真正進(jìn)入到教學(xué)活動(dòng)中。小步子，就是遵循由易到難、由淺入深、由單一到綜合、由簡單到復(fù)雜的原則，安排層次分明，梯度較小的教學(xué)情境，分散難點(diǎn)突出重點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生沿著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的臺(tái)階逐級而上，最終達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。現(xiàn)對幾個(gè)教學(xué)案例進(jìn)行歸納總結(jié)。

一、借助數(shù)學(xué)建模降低問題難度

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師需以教學(xué)對象的心理特點(diǎn)、認(rèn)知基礎(chǔ)和年齡特點(diǎn)為依據(jù)，先從低起點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型著手，讓學(xué)生易于掌握，促使他們整體參與學(xué)習(xí)。初中數(shù)學(xué)教師在具體的建模教學(xué)中，選擇和使用的素材需貼近學(xué)生的實(shí)際生活，符合他們的認(rèn)知能力和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，利用這些生活現(xiàn)象引領(lǐng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，對于他們來說較為熟悉更加易于接受與掌握，從而提升教學(xué)效果。

案例1：三個(gè)相同的正方形，求證：∠1+∠2+∠3=90°。

此問題可編擬成在平直公路上的100米、200米、300米處分別有有三輛汽車，觀察測速點(diǎn)，測得的視角之和為90°，那么測速點(diǎn)到公路有多遠(yuǎn)？只要教師做有心人，精心設(shè)計(jì)，課本中的數(shù)學(xué)問題大都可挖掘出模型，選擇緊貼實(shí)際的問題深入分析，逐漸滲透這方面的訓(xùn)練，使學(xué)生養(yǎng)成自覺地把數(shù)學(xué)作為工具來用的意識。

案例2：如下圖形，A、B是直線L同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，在直線L上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。

從知識上來看，本題是考查“利用軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系”求兩條線段和的最小值。從結(jié)果來看，在掌握這種模型之后就能在變形問題中應(yīng)用，而這種將變式化歸為已有模型或模式的做法和能力，正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最為重要的能力。綜合這兩方面，本題有較強(qiáng)的可推廣性和教育性。

該模型應(yīng)用非常廣泛，可以分別改編成如下三題：

（1）正方形ABCD的邊長為4，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)。連結(jié)BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱。連結(jié)ED交AC于P，求PB+PE的最小值。

（2）⊙O的半徑為4，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；

（3）∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長的最小值。

二、借助數(shù)學(xué)建模化繁為簡

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)從他們的已有知識出發(fā)，提升課堂教學(xué)的普適性，使其積極參與學(xué)習(xí)，才能促進(jìn)學(xué)生建模能力的提高。初中數(shù)學(xué)教材中有不少普適性素材，教師可以此為依托，展開建模教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并增強(qiáng)他們解決問題的能力。

案例3：平行線+平分線得到等腰三角形

變1.如圖，矩形ABCD，E為BC中點(diǎn)，作∠AEC的平分線交AD于F點(diǎn)，AB=6，AD=16，求FD的長。

變2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F。求證：EO=FO。

試想一下如果沒有“平行線+平分線得到等腰三角形”的幾何模型，學(xué)生在解決這兩個(gè)問題的時(shí)候會(huì)有多么困難。

二、借助數(shù)學(xué)建模滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)建模屬于一種思想方法，在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師不僅要幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，還應(yīng)傳授他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的技巧。建模教學(xué)應(yīng)注重思想方法的傳授，讓學(xué)生真正掌握建模技巧、形成建模能力。因此，初中數(shù)學(xué)教師在兼顧知識教學(xué)的同時(shí)，應(yīng)注重對學(xué)生能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)他們的建模意識和能力，使其在學(xué)習(xí)過程中善于使用建模思想，并運(yùn)用建模解決實(shí)際問題，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用。

案例4：某學(xué)校計(jì)劃在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學(xué)生和6名教師外出活動(dòng)，每輛汽車至少有1名教師。現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如下：

（1）共需租多少輛汽車？

（2）給出最節(jié)省費(fèi)用的租車方案。

解析：某些現(xiàn)實(shí)問題中變量之間相互聯(lián)系，函數(shù)來源于這類存在變量的問題，最終又會(huì)解決這類問題。這道題是人教版數(shù)學(xué)八下103頁的問題二，該題最大價(jià)值就在于讓學(xué)生明白為什么要建立函數(shù)模型解題，而不是其它的數(shù)學(xué)模型：所需費(fèi)用受租車種類數(shù)量的影響，這兩個(gè)量都是變量，變量之間就會(huì)存在函數(shù)關(guān)系，所以就建立函數(shù)模型來解決問題。當(dāng)學(xué)生算出x的值為4和5后，學(xué)生分成兩個(gè)陣營：一個(gè)陣營會(huì)親自計(jì)算這兩種方案的費(fèi)用，比較后選出最優(yōu)方案。另一個(gè)陣營會(huì)借助函數(shù)的增減性來判斷哪種方案最優(yōu)。兩種方法解決這道題目都是可以的。教師此時(shí)再追問一句：如果方案較多能采用計(jì)算方法嗎？一句換就能讓學(xué)生明白建立函數(shù)模型的價(jià)值。

數(shù)學(xué)建模教學(xué)使學(xué)生走出了課本，走出了傳統(tǒng)的習(xí)題演練。使他們進(jìn)入到生活實(shí)際中，進(jìn)入到一個(gè)更加開放的天地。使學(xué)生體驗(yàn)到了一個(gè)充滿生命活力的課堂，這對于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)造精神是一個(gè)很好的途徑。教師需充分發(fā)揮建模教學(xué)的優(yōu)勢和作用，才能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造力，進(jìn)而發(fā)展他們的思維能力、學(xué)習(xí)能力和應(yīng)用能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]馮永明，張啟凡.對“中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)”的探討[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000（02）

[2]沈文選.關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用研究的幾點(diǎn)思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000（01）

[3]付軍，朱宏，王憲昌.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的實(shí)踐與思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007（04）

（注：本文系2017年河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目課題《基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究》（立項(xiàng)編號：JCJYC17031910）研究成果。）