以不變應(yīng)萬(wàn)變，立足課本基礎(chǔ)

劉春生

題目呈現(xiàn)：

已知二次函數(shù)y=ax+4ax+4a-1的圖象是C1。

（1）寫C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求C1關(guān)于點(diǎn)R（1，0）中心對(duì)稱的圖象C2的函數(shù)解析式。

（2） 設(shè)拋物線C1、C2與y軸的交點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)|AB|=18時(shí)，求a的值。

一、試題背景

此題對(duì)應(yīng)的課標(biāo)考查要求：（1）通過對(duì)實(shí)際問題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義；（2） 會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像，通過圖像了解二次函數(shù)的性質(zhì)；（3）會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化成y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出圖像的開口方向，畫出圖像的對(duì)稱軸，并能解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題；（4）會(huì)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解；（5）知道給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù)。

二、試題的立意

1.此題立足課標(biāo)對(duì)二次函數(shù)的考查要求，主要是想考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)核心知識(shí)掌握情況.著重考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)及解析式的互相轉(zhuǎn)化，所涉及的知識(shí)還有對(duì)稱、兩點(diǎn)間距離。

2. 在能力上考查了二次函數(shù)知識(shí)中所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，求學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。

三、解題策略

（一）學(xué)生可能遇到的困難有

1.在中心對(duì)稱中如何求點(diǎn)的坐標(biāo)；2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式在中心對(duì)稱中的應(yīng)用；3.兩點(diǎn)間的距離公式；4.易錯(cuò)點(diǎn)是兩點(diǎn)的距離公式學(xué)生不加上絕對(duì)值，從而不分類討論導(dǎo)致漏解。

（二）題目分析

1.顯性條件：是二次函數(shù)的一般式；隱含條件：將一般式化為頂點(diǎn)式。要特別關(guān)注學(xué)生寫成頂點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意的問題（如：遺漏a等）。

2.求頂點(diǎn)式的解題方法

方法一：配方法。方法二：先找對(duì)稱軸再代入一般式，從而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)C（-2，-1）。

（三）解決此題的重點(diǎn)

1.將點(diǎn)的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為全等三角形或中點(diǎn)來求，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想。

2.圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱后，開口方向有何變化。

（可利用幾何畫板做出動(dòng)畫讓學(xué)生理解如圖1）

（四）此題難點(diǎn)：圖像變化過程中a的變化，頂點(diǎn)的變化。

（五）詳細(xì)的解題策略過程。

（1）由顯性條件①你能想到什么？（復(fù)習(xí)引出二次函數(shù)三種解析式）

②由①你能將它化成頂點(diǎn)式嗎？有哪些方法？

（2）C1關(guān)于點(diǎn)R（1，0）中心對(duì)稱，關(guān)鍵抓住什么？（二次函數(shù)關(guān)鍵抓住頂點(diǎn)）

（3）怎樣求C2的頂點(diǎn)D呢？

思路1：C、R、D三點(diǎn)共線，且R為C、D的中點(diǎn)（圖2），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè)D（x，y）。

思路2：分別過C、D兩點(diǎn)作x軸的垂線（圖3），垂足分別為M、N，則△CMR與△DNR有何關(guān)系？MR=NR，為第（2）問鋪墊求兩點(diǎn)間距離。

思路3：能否分別過C、D兩點(diǎn)作y軸的垂線（圖4）？

思路4：能否直接用CD=2CR而求出D的坐標(biāo)？此時(shí)C2的開口方向與C1的有何關(guān)系？（結(jié)合幾何畫板演示給學(xué)生看，讓其感悟）開口相反。

詳解：（1）此時(shí)應(yīng)用了轉(zhuǎn)化思想，利用幾何畫板將抽象難懂演變得直觀形象，還可以做出關(guān)于直線x=1對(duì)稱，關(guān)于直線y=0對(duì)稱等。

（2）與y軸的交點(diǎn)只需x為0，從而求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)A（0，4a-1）、B（0，-16a+1），|AB|=|（4a-1）-（-16a+1）|。而此時(shí)學(xué)生易錯(cuò)：①?zèng)]有添上括號(hào)；②沒有絕對(duì)值符號(hào)，從而遺漏一個(gè)答案

四、試題的拓展與提升

（1）結(jié)論變式：

①降低難度，將R（1，0）變?yōu)樵c(diǎn)（0，0）；②同難度，將R（1，0）換成關(guān)于x=1對(duì)稱；③同難度，將R（1，0）換成關(guān)于y=0對(duì)稱。

（2）探索變式：

①已知C2解析式為：y=-a（x-4）2+1。試問C1與C2有何關(guān)系？

②試探究，當(dāng)C1、C2有一個(gè)交點(diǎn)為R（1，0）時(shí)，此時(shí)的a的值是否存在？

五、反思與總結(jié)

（一）此題的好與改進(jìn)的方面

此題很好地考查了二次函數(shù)的核心知識(shí)，很好地體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)能力以及勇于探究不怕困難的情感。但入手較難，沒有較好地體現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)上的不同體驗(yàn)，讓部分已掌握一定二次函數(shù)基本知識(shí)的學(xué)生難以得到收獲。從這個(gè)角度上來講，如能增加一個(gè)輕易入手的問題就更好，比如：增加第一小問：若a=1，則頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？

（二）二次函數(shù)的教學(xué)建議

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是較難和抽象的知識(shí)，多數(shù)學(xué)生學(xué)起來覺得比較辛苦，難以掌握。特別是九年級(jí)的二次函數(shù)的綜合問題，學(xué)生常常出現(xiàn)無(wú)從入手的感覺。而二次函數(shù)一直是我們江西中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，也是學(xué)生綜合能力的體現(xiàn)。