經(jīng)濟(jì)學(xué)中若干模型的數(shù)值計(jì)算方法

楊 柳

（陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，西安 712046）

一、Matlab及功能介紹

Matlab是由美國(guó)mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言，為數(shù)值計(jì)算提供了解決方案。它有高效的數(shù)值計(jì)算，又有圖形處理功能為用戶的提供了便利。Matlab中包含大量的算法，直接調(diào)用，可以快速得到近似解或者圖解。現(xiàn)代化計(jì)算必須與科學(xué)計(jì)算機(jī)相結(jié)合，否則對(duì)學(xué)科的研究就只停留在大型的計(jì)算上。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中，數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)的應(yīng)用是對(duì)某些經(jīng)濟(jì)問題分析的基礎(chǔ)[1]，只有得到模型的解或模型的圖像，才能更好地分析經(jīng)濟(jì)活動(dòng)體現(xiàn)的問題。模型求解的過程中，數(shù)值解往往比準(zhǔn)確解更容易得到，也能更好地反饋經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的變化過程，利用計(jì)算機(jī)求解模型是數(shù)值計(jì)算的有效方法。

二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)問題

在宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行過程中，運(yùn)輸問題、配料問題、合理下料問題等線性規(guī)劃問題比較常見，線性規(guī)劃問題是運(yùn)籌學(xué)的重要分支，廣泛應(yīng)用于軍事作戰(zhàn)、經(jīng)濟(jì)分析、經(jīng)營(yíng)管理和工程技術(shù)等方面，為合理地利用有限的人力、物力、財(cái)力等資源做出最優(yōu)的決策，提供科學(xué)的依據(jù)。運(yùn)籌學(xué)中，對(duì)線性規(guī)劃問題的求解方式有三種，包括圖解法、單純形法、計(jì)算機(jī)求解。其中，圖解法是變量只有兩個(gè)的情況下，在直角坐標(biāo)系中畫出可行域，找目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解；單純形法適用于任意變量，但需要把線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的形式；計(jì)算機(jī)求解課采用Matlab軟件、lingo軟件或者Excel表格。利用圖表法求解過程煩瑣，且只能有兩個(gè)變量，多個(gè)變量則不能使用，單純形法的求解速度較慢，需要對(duì)單純形法的步驟很清晰，計(jì)算能力要求較高。而宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，模型越趨向于非線性，計(jì)算方法與非線性模型的數(shù)值計(jì)算緊密相連，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的成熟，非線性模型的求解已經(jīng)不受限制，并且大規(guī)模的運(yùn)算也能夠?qū)崿F(xiàn)。Matlab工具箱提供了非線性模型的求解方法，無論是提高求解速度的方法，或者是提高數(shù)值解精度的方法，在軟件中都有涉及。

三、計(jì)算機(jī)求解

（一）線性規(guī)劃問題求解

宏觀經(jīng)濟(jì)的最優(yōu)化問題是指在決策管理中，通過協(xié)調(diào)有限的資源，達(dá)到最佳的經(jīng)濟(jì)效果，最大限度地滿足人們的需求。最優(yōu)化問題最基本的是線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃是經(jīng)濟(jì)計(jì)劃最優(yōu)化的基本方法之一，是進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法，在經(jīng)濟(jì)管理、交通運(yùn)輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，提高經(jīng)濟(jì)效果是人們的要求。而提高經(jīng)濟(jì)效果一般通過兩種途徑：一是技術(shù)方面的改進(jìn)，例如改善生產(chǎn)工藝，使用新設(shè)備和新型原材料；二是生產(chǎn)組織與計(jì)劃的改進(jìn)，即合理安排人力物力資源。線性規(guī)劃所研究的是：在一定條件下，合理安排資源，使經(jīng)濟(jì)效果達(dá)到最好。規(guī)劃問題，即求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題[2]。

Matlab為規(guī)劃問題（線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃）提供了求解的工具箱。求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解有兩種方法，一種方法是使用linprog命令，另一種是使用optimtool工具箱。一般情況下，linprog 命令的調(diào)用格式為[x，fval]=linprog（f，A，b，Aeq，beq，lb，ub，x0）。其中，f表示目標(biāo)函數(shù)中各個(gè)變量前面的系數(shù)向量，如果是求最小值問題，那么f就是各個(gè)變量的系數(shù)，如果是求最大值問題，那么f就是各個(gè)變量的系數(shù)的相反數(shù)；A和b分別表示不等式約束A*x＜=b中的矩陣A和向量b；Aeq和beq表示等式約束Aeq*x=beq中的矩陣Aeq和向量beq。

例如，某工廠要用三種原料1、2、3混合調(diào)配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，已知產(chǎn)品的規(guī)格要求及單價(jià)為：甲產(chǎn)品需要原材料1不少于50%，原材料2不超過25%，每千克售價(jià)50元；乙產(chǎn)品需要原材料1不少于25%，原材料2不超過50%，每千克售價(jià)35元；丙產(chǎn)品對(duì)原材料沒有限制，每千克售價(jià)25元。每天能供應(yīng)的原料數(shù)量及原料單價(jià)為：原材料1每天最多供應(yīng)100千克，每千克65元；原材料2每天最多供應(yīng)100千克，每千克25元；原材料3每天最多供應(yīng)100千克，每千克35元。問：該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使利潤(rùn)收入為最大？

解：設(shè)xi，j表示第i（i=1，2，3，1=甲，2=乙，3=丙）種產(chǎn)品中原料j（j=1，2，3）的含量。如，x1，2就表示甲產(chǎn)品中第2種原材料的含量。

max z=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

S.t.

0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0

-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0

0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0

-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0

x11+x21+x31≤100

x12+x22+x32≤100

x13+x23+x33≤60

xij≥0，i=1，2，3；j=1，2，3

Matlab求解程序?yàn)椋?/p>

＞＞f=[15，-25，-15，30，-10，0，40，0，10]；

＞＞A=[-0.5，0.5，0.5，0，0，0，0，0，0；-0.25，0.75，-0.25，0，0，0，0，0，0；0，0，0，-0.75，0.25，0.25，0，0，0；0，0，0，-0.5，0.5，-0.5，0，0，0；1，0，0，1，0，0，1，0，0；0，1，0，0，1，0，0，1，0；0，0，1，0，0，1，0，0，1]；

＞＞B=[0，0，0，0，100，100，60]；

＞＞lb=zeros（9，1）；

＞＞[x，fval]=linprog（f，A，B，[]，[]，lb）

Optimization terminated.

x=

100.0000

50.0000

50.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

25.00000.0000

fval=

-500.0000

結(jié)果分析：由于求的是最大值，在MATLAB的標(biāo)準(zhǔn)形式中，需要把最大值的目標(biāo)函數(shù)兩邊取負(fù)號(hào)，轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞钚≈档男问剑虼私Y(jié)果中的-500是添加負(fù)號(hào)之后的最小值。因此，本題收入的最大值為500元，安排的生產(chǎn)方案是：甲產(chǎn)品中第一種原材料的含量為100千克，甲產(chǎn)品中的第二種原材料的含量為50千克，甲產(chǎn)品中的第三種原材料含量為50千克，丙產(chǎn)品中的第二中原材料含量為25千克。

（二）投入產(chǎn)出模型的求解

美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂惕夫提出的投入產(chǎn)出模型是對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)系統(tǒng)中產(chǎn)品的投入及產(chǎn)出之間關(guān)系的考察，也是對(duì)經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和制定經(jīng)濟(jì)政策及措施的依據(jù)的數(shù)學(xué)模型。由于社會(huì)分工的不同，可以分為若干個(gè)經(jīng)濟(jì)部門，每個(gè)經(jīng)濟(jì)部門的活動(dòng)可以分為投入和產(chǎn)出兩方面，通過投入產(chǎn)出模型可以描述短期的投入產(chǎn)出的經(jīng)濟(jì)聯(lián)系，是一個(gè)相對(duì)靜態(tài)的模型[3]。

假設(shè) n 個(gè)能夠生產(chǎn)產(chǎn)品的部門，令 x=（x1，x2，…，xn）T為產(chǎn)出向量，y=（y1，y2，…，yn）T是最終需求向量，A 為消耗系數(shù)矩陣，則列昂惕夫投入產(chǎn)出模型為x=Ax+y，整理得x=（I-A）-1y，大部分實(shí)際問題中I-A是可逆矩陣，產(chǎn)出量轉(zhuǎn)化為矩陣的乘法，若A與y已知，則可求出對(duì)應(yīng)的產(chǎn)量x。Matlab實(shí)現(xiàn)：在命令窗口中輸入投入產(chǎn)出表，求出消耗系數(shù)矩陣A，輸入最終需求向量y，根據(jù)x=（I-A）-1y求出相應(yīng)的產(chǎn)出向量x。

投入產(chǎn)出模型可以分析各部門在生產(chǎn)實(shí)際中所占的比例，調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，也能研究各部門運(yùn)轉(zhuǎn)的內(nèi)在聯(lián)系及之間的影響。并且在某一產(chǎn)品價(jià)格變動(dòng)的過程中，可以了解對(duì)整個(gè)生產(chǎn)活動(dòng)的影響，從而為最終的生產(chǎn)提供科學(xué)的規(guī)劃[4]。

四、結(jié)語(yǔ)

宏觀經(jīng)濟(jì)發(fā)展的趨勢(shì)是越來越多地使用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)工具，利用數(shù)學(xué)模型來表述經(jīng)濟(jì)理論，好的模型要能夠正確證明自已的想法、數(shù)學(xué)符號(hào)與語(yǔ)言解釋能夠緊密聯(lián)系、經(jīng)濟(jì)變量要有意義且與實(shí)際數(shù)據(jù)能夠較為緊密地對(duì)應(yīng)。將Matlab運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)模型的求解過程，一方面可以提高計(jì)算的速度，另一方面可以把抽象的模型轉(zhuǎn)化為數(shù)值解與圖形，從圖形觀察和理解經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為具體，有利于提高感性的認(rèn)知，加強(qiáng)對(duì)經(jīng)濟(jì)模型的直觀認(rèn)識(shí)，對(duì)抽象的定理及經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的理解。