基于Copula和多成分GARCH的股市高頻波動溢出研究

翟曉婧 朱 丹

（南昌大學，江西 南昌 330000）

在過去，GARCH模型得到了廣泛的擴展。但是，將Copula理論運用于高頻數據的研究還不多。大致上，可以將Copula理論運用于高頻數據研究的文獻分為三類，一類是直接將Copula與邊緣模型相結合對多變量高頻數據之間的關系進行研究。一類是用高頻數據計算出“已實現”波動率等構建邊緣分布模型，再與Copula模型結合進行低頻數據波動關系的研究。最后一類是將Copula和ACD模型結合運用于超高頻數據。考慮到高頻數據的日歷效應特征并結合SJC-Copula為建模工具對金融市場尾部波動溢出進行的研究還未出現，本文的研究有助于填補這一空白。

一、模型和研究方法

（一）多成分GARCH模型的基本理論

本文把采集高頻收益率樣本的天數依次標記為t(t=1,…,T)。在每天里收集N個收益率樣本，每天的高頻樣本依次標記為i(i=1,…,N)。可以構造出多成分GARCH模型的基本形式：

在上式 (1)里，rt,i表示第t天第i個對數高頻收益率數據，μt,i為rt,i的條件均值，εt,i為殘差項。qt,i代表日內標準差成分，σt為第t日收益波動的標準差，si為日歷標準差成分，zt,i服從iid(0,1)標準化新息，zt,i服從的分布較常見的有高斯分布、學生t分布等。本文選擇使用學生t分布，并設自由度參數為λ。

這里，本文將多成分GARCH模型進一步表示成：

上式(2)中，μ代表均值的常數部分，p為選定的最大滯后階數。rt,i-j為rt,i的第j個滯后項。

（二）多成分GARCH模型的參數估計

考慮到多成分GARCH模型既利用了低頻數據又使用了高頻數據，本文使用分步法進行估計：

第一步先估計σt。在對每日收益標準差σt估計時，我們選用GJR-GARCH（1，1）模型進行。

第二步，對日歷標準差成分si和多成分GARCH模型的參數等進行估計。估計方程式如下：

在本文里，我們用剔除對數高頻收益率條件均值后的殘差替換對數高頻收益進行估計。估計式變為：

如果我們將（2）式的前兩個方程式分別代入（3）式和（4）式，可以發現使用（4）式計算日歷標準差成分比（3）式更能明晰表現出日歷標準差的估計式與多成分GARCH模型里設定的日歷標準差的對應關系。

其后，將第一步估計得到的σ?t和（4）式確定的s?i的表達式代入（2）式，對多成分GARCH模型用極大似然法進行估計得到參數值和殘差序列。在式（2）里，有參數，那么，學生t分布下的對數似然函數可以表示為：

在上式（5）中，Yt,i表示直到t日第i個樣本點的信息集合，Γ（·）為Gamma函數，并要求學生t分布的自由度參數λ＞2。

（三）SJC-Copula模型的形式及參數估計

Copula理論的發展極大地豐富了多元變量之間相關性研究的內容。尾部相關系數可以用來捕捉當一個預測變量為極值時，另一個觀測變量也出現極值的概率。尾部相關系數引申出來的一個概念是條件尾部相關系數。在實證研究中，常用τU(τL)表示條件上(下)尾相關系數。當τU(τL)大于零且小于等于1時，則說明存在上尾（下尾）相關關系，否則就表示不存在這種相關關系。Joe-Clayton Copula函數形式為：

上式中 κ=1/log2(2- τU)，γ=-1/log2τL且 τU∈(0,1),τL∈(0,1)。Joe-Clayton Copula不僅能對尾部相關關系進行靜態描述，也可以對它們的動態的變化進行刻畫。Patton發現Joe-Clayton Copula無法度量出上下尾相關系數相等的情況，提出了SJCCopula。其具體函數形式可表示為：

Patton在定義Joe-Clayton Copula函數中的參數時變性的基礎上，得到了時變條件上下尾相關系數的表達式。

其中的Λ（·）表示的是logistic轉換函數，其表示形式為Λ(x)=(e-x+1)-1，這一變換有助于保證上下尾相關系數永遠處于(0,1)范圍內。

在對SJC-Copula進行估計時，本文運用基于核密度的極大似然法(MLK)來實現。在運用MLK法進行Copula參數估計時，需要分兩步進行。

第一步，利用核平滑分布估計函數將標準殘差xnt轉換為均勻變量unt；

其中，hnT為窗寬，kT(·)為核函數，一般取Gaussian核函數。

第二步，估計c（·）的待估參數向量θ：

二、實證研究

（一）實證樣本數據選取及其統計特征描述

多成分GARCH模型既用到了低頻數據也用到了高頻數據，本文低頻數據來源于Wind數據庫，高頻數據來源于銳思高頻數據庫，結合本文的需要對數據進行處理，分別計算出每日和每10分的對數收益率：

Rt，Pt分別表示第t個交易日的收益率和收盤價格；rt,i,Pt,i表示第t個交易日第i個收益率和收盤價格。另外，本文規定，當i=1時pt,i-1取上一日最后采集的收盤價格。對四個行業指數10分鐘高頻數據樣本分別進行統計特征分析,發現呈現出明顯的尖峰厚尾性。同時它們也表現出顯著的左偏特征。四個樣本都顯然不服從正態分布，而且除地產指數（DCZS）外，其它三個指數都不能拒絕存在序列自相關性的假設。

（二）邊緣分布模型的參數估計及檢驗

通過使用Ljung-Box-Q檢驗和Kolmogorov-Smirnov檢驗變換后的序列，發現這4個時間序列服從iid(0,1)的均勻分布。這表明，多成分GARCH模型能夠較好地擬合邊緣分布，可以用它進行四個指數高頻收益率序列的建模。

（三）時變SJC-Copula模型的參數估計及檢驗

依據SJC-Copula模型的理論，將得到的概率積分變換后數據代入SJC-Copula模型估計參數，得到靜態SJC-Copula模型的上下尾相關參數以及時變SJC-Copula模型（8）和（9）式中參數，并計算出AIC的值。

（四）上海股市行業板塊高頻風險傳染實證結果分析

1.下尾相依性分析。只有在地產指數與其它行業指數之間存在時變的高頻下尾相依性，而在其它指數之間則不存在時變的下尾相依性。從波動幅度可以看出，地產板塊與商業板塊之間的下尾相依性波動較大，地產板塊與工業板塊、公用事業板塊的下尾相依性波動幅度則較小。

2.上尾相依性分析。只有在地產指數與其它行業指數之間存在時變的高頻上尾相依性，而在其它指數之間則不存在時變的上尾相依性。從變動幅度可以看出，地產板塊與商業板塊之間的上尾相依性變動較小，地產板塊與工業板塊、公用事業板塊的下尾相依性波動幅度卻較大，這點與下尾相依性表現的正好相反。同時，下尾相依性比上尾相依性更大，而且在表現出時變上下尾相依性特點的地產指數與其它板塊之間相依性的波動也呈現出明顯的不對稱特點。

本文使用能夠同時描述靜態和動態上下尾相依性的SJC-Copula和適用于高頻數據的多成分GARCH模型分析了上海股市行業板塊之間的風險溢出關系。研究發現工業指數、商業指數和公用事業指數之間有較強的上下尾相依性，且這種相依性呈現出較為恒定的狀態。但在地產指數與其它指數之間，則呈現出相對較弱的時變上下尾相依性。