初中數學探究活動的基本形式及案例分析

☉江蘇省丹陽市第八中學景永興

教師著眼于學生認知發展水平與已有經驗精心設計系列問題，能令學生在生動活潑、主動而富有個性的學習中展開積極的思考，積極探究、體驗與運用數學思想方法，并因此逐步積累起更加豐富的數學活動經驗，使學生在教師的有效指導中落實真正有意義的探究活動并獲得學習的進步.

教師的啟發誘導、學生的獨立自主學習與合作討論都是有效的數學探究活動必不可少的，教師以問題為引領并啟發學生在探究中發現問題、提出問題、分析問題與解決問題，能令師生雙方在共同探究的過程中獲得富有個性化的思考，學生這一學習的主體在數學探究活動中也會展現出更加豐富的思維動態與個性化想法.一般來說，學生的探究活動可以分為獨立探究、合作探究與引導探究這三種最基本的形式.

一、獨立探究

獨立探究這一探究活動中最基本的活動形式實際上就是學生個體對探究對象所進行的獨立思考和探究.教師在一些較為基礎或簡單的數學知識的研究中，可以設計一定的問題情境來引導學生獨立思考和探究，使學生能夠在獨立思考和探究中自主發現有關知識并完成一定的學習.

案例1：二元一次方程的建立.

教師在二元一次方程概念的建立過程中，可以設計以下三個步驟引導學生獨立探索.

（1）創設問題情境.

長城這一中華民族偉大的象征西起嘉峪關，東至遼東虎山，全長約7300千米，其中西段實際上是指嘉峪關到山海關這一路程，東段則指山海關至遼東虎山這一路程，西段比東段長約6100千米的距離，那么長城的東段、西段的長度各是多少呢？

（2）提出以下系列問題：

①已知量和未知量分別有哪些？

②有哪些等量關系？

③可否列出一元一次方法來解決此題？

④未知數有兩個.假如設東段與西段分別長x千米、y千米，用含有未知數x、y的代數式表示長城全長則為______；表示西段比東段長6100千米為______.

學生在解決第④問時往往易得以下兩個方程：

x+y=7300；

y-x=6100.

（3）觀察上述方程并歸納其特點.

學生往往能夠表達出上述兩個方程的部分特點，教師可以在學生思考與歸納的基礎上對其共同特點進行概括與表達，直至將兩個方程均含有兩個未知數且未知數的次數都是1這一本質特點概括出來，二元一次方程的定義至此也就順利得出了.

學生思考并解決上述三個問題的過程正是二元一次方程建立的過程，學生在親身經歷中對二元一次方程這一概念的產生形成了充分的認識，學生在教師的精心設計中深刻體會到了源于生活而又服務于生活的數學及數學應用，模型思想更易形成.

二、合作探究

以合作學習為前提所進行的合作探究是學習小組成員之間對研究對象進行的共同探究活動.一般來說.學生在合作探究之前必然已經進行過一定程度的獨立探究，合作探究往往是其獨立探究后仍未能很好地解決時采取的一種探究方式.

案例2：多邊形內角和.

教師在啟發、指導學生合作探究多邊形的內角和時可以設計以下三個步驟.

（1）要求每個學生根據圖1中的多邊形進行獨立思考并添加輔助線，自主推導n邊形的內角和公式.

（2）組織學生將各自添加輔助線求n邊形內角和的方法進行組內交流、相互比較并分享他人的成果.

（3）引導全班學生進行合作與共同概括，如圖2所示，添加輔助線的方法雖然多樣且各不相同，但分割多邊形并將多邊形內角和問題轉化成三角形內角和問題是此處探究的實質.因此，不管根據何種分割法進行計算，最終得到的結果都是相同的.學生在獨立探究、合作探究與全班探究、概括的整個過程中運用到了計算、歸納和發現，最終在大家的共同合作與努力中獲得了求n邊形內角和的公式：（n-2）·180°.

圖1

圖2

獨立探究和合作探究在這一案例中都得到了體現.問題（1）的設計旨在引導學生進行獨立探究，使學生能夠在獨立思考中獲得求n邊形內角和的不同推導方法.問題（2）和（3）的設計旨在引導學生在獨立探究的基礎上進行合作探究，使學生能夠在合作探究中發現盡管分割方法不盡相同，但殊途同歸，相同的結果都會在不同分割圖形的方法中得到，使得學生不禁產生是否具備共性的思考，也因此引發學生的繼續思考.

三、引導探究

教師引導學生對問題進行探究與思考即為這里所指的引導探究，這種探究方式一般應用于學生獨立探究和合作探究結束后又無結果或定論之時.教師在學生探究無力或束手無策之時引導學生探究，往往能令學生獲得靈感或繼續探究的準確方向.

案例3：確定圓的條件.

不在同一直線上的三點確定一個圓這一內容往往不是學生獨立探究與合作探究中能夠輕易得出的，因此，教師在學生獨立探究與合作探究的基礎上，可以采取引導探究的方式幫助學生獲得知識.

（1）在紙上作一點A并經過該點作圓，大家能作多少個圓呢？

（2）在紙上作A、B兩點并經過這兩點作圓，大家能作多少個圓呢？圓心在哪里？

（3）在紙上作A、B、C三點，若A、B、C三點不在同一直線上，經過A、B、C三點可以作出一個圓嗎？若能，應如何作出？圓心在哪里？經過A、B、C三點能作出多少個圓呢？

說明：學生在獨立探索中即能解決問題（1）和（2）：經過一個點能作出如圖3所示的無數個圓；經過兩點能夠作出如圖4所示的無數個圓，所作出的圓的圓心都在如圖4所示的虛線上，已知兩點構成的線段的垂直平分線即為這一直線，這一重要的發現對于解決問題3來說極有價值.

不過，學生面對問題（3）時往往頗感困難，教師可以設計以下問題促成引導探究：

師：若經過A、B、C三點的圓O已經作出，那么圓心O至A、B、C三點的距離如何？

生：相等.

師：到A、B兩點的距離相等的點在何處？

生：在線段AB的垂直平分線上.

師：到B、C兩點的距離相等的點在何處？

生：在線段BC的垂直平分線上.

師：經過A、B、C三點的圓的圓心應如何確定呢？

生：先后分別作出線段AB、BC的垂直平分線，兩線的交點即為圓心.

……

學生在教師的引導下很快作出了如圖5所示的經過A、B、C三點的圓，不僅如此，還對該圓唯一作出了揭示.

圖3

圖4

圖5

探究內容難易上的差異、學生探究能力的高低往往會決定探究方式的選擇，教師在具體內容的探究中，不管選何種方式，都應始終記住數學教育應令人人都獲得良好發展的教育宗旨與理念.因此，教師在具體教學中，一定要遵循學生能夠獨立探究時就不采用合作探究的原則，學生能夠合作探究解決的問題也盡量不采用引導探究，應使學生能夠在獨立探究的基礎上獲得最周全、細致的思考，在必要的時候運用合作探究和引導探究作為補充.數學探究活動一般遵循如圖6所示的具體過程：

圖6

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾曾經對數學學習的方法表達過自己的見解，強調實行“再創造”才是數學學習唯一的正確方法.因此，教師在平時的教學中要堅持由學生本人去發現或創造，杜絕將現成知識灌輸給學生的簡單做法，運用情境設計、問題引領等多種手段與方法啟發、引導、幫助學生實現這種再創造.F