例談圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的解決策略

（甘肅省民勤縣第一中學(xué) 甘肅民勤 733300）

圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題一直是高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，其中有不少試題涉及到最值與范圍，對(duì)于這些問(wèn)題，很多同學(xué)望而生畏，騎虎難下，深感困難重重，難以決策。這類(lèi)問(wèn)題，也并非無(wú)規(guī)可尋，下面通過(guò)幾個(gè)典型題目談?wù)劷鉀Q圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的策略。

題型一：最值問(wèn)題

根據(jù)拋物線的定義知，|PP′|=|PF|，

[講評(píng)]一看到本題，不少同學(xué)可能會(huì)依常理“出版”——構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，然而其最值很難求得，這也恰恰落入了命題者有意設(shè)置的“圈套”之中，事實(shí)上，與拋物線的焦點(diǎn)（或準(zhǔn)線）相關(guān)的最值問(wèn)題，更多的是考慮數(shù)形結(jié)合，利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再利用三點(diǎn)共線或三角形的三邊關(guān)系加以處理。

探究1 圓錐曲線中最值的求法有兩種：

（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何體特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法。

（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、重要不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等。

題型二 范圍問(wèn)題

（2）若|AP|=|OA| ，證明直線OP的斜率k滿足|k|>

[解析]（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），由題意，有

APBP00(a2-2b2)y02=0。由于y0≠0，

故 a2=2b2，于是所以橢圓的離心率

（2） 依題意，直線OP的方程為y=kx，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），

消去y0并整理得

由|AP|=|OA|，A（-a，0）及y0=kx0，得

2>4k2+4，即k2+1>4。因此k2>3，所以|k|>

探究2 求參數(shù)范圍的常用方法有四種：

（1）函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解。

（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過(guò)解不等式求參數(shù)的范圍。

（3）判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ求參數(shù)范圍。

（4）數(shù)形結(jié)合法：研究該參數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解。