插上類比翅膀，成就高效課堂

文/鶴山市第一中學 黃潔珍

在日常教學中，教師經常能聽到學生反映： “課聽得懂，題不會做。”簡單說，這是沒有學會發現，沒有學會類比，在數學教學中，類比與歸納法一起被人們稱為發現真理的主要工具，數學教育家波利亞說： “一般化、特殊化和類比是獲得發現的源泉。” “你能否想出一個有相同或相似的未知數的熟悉的問題？你是否見過形式稍有不同的題目？你能論述這個題目嗎？”這就是告訴我們，在教學過中要教會學生善于用類比，從而提高解題能力。教學中可類比公式、結論、方法、功能、探究等，本文介紹其中幾種.

一、類比方法

例1.①類比函數y=kx+1中當x=0時，對任意的k，都有y=0，得直線y=k(x+1)+2中同理當(x+1)=0時y=2，從而得直線y=k(x+1)+2恒過定點(-1，2)。同理，圓化x2+y2-4ax+20a=25為(x2+y2-25)+a(-4ax-2y+20)=0(a∈R)， 當x2+y2-25=0 和-4ax-2y+20=0時x2+y2-4ax+20a=25圖像恒過定點 (3，4)或 （5，0）。

②類比函數y=ax(a＞0，a≠1)當x=0時， 對任意的a（a＞0，a≠1）， 都有y=1得y=a1-2x+2， 當 1-2x=0時，y=a0+2=3得y=a1-2x+2圖像恒過定點

③類比函數y=logax(a＞0，a≠1)當中x=1時，對任意的a(a＞0，a≠1)， 都有y=0得y=loga(2x+3)-1中當2x+3=1，y=loga1-1=-1，從而函數y=loga(2x+3)-1圖像恒過定點(-1， -1)。

有參數過定點問題是研究曲線性質的重要組成部分，它也是高中數學中一類重要的題型，通過類比方法我們可以把復雜的函數圖象變換難題轉化為易算的代數問題，可以把抽象的曲線問題轉化為易懂的問題，可以把不同的問題，歸納為相同或相似的問題，現在高考越來越重視對學生運用類比解決問題能力的考查。

二、類比證明

例2.設定義在R上的函數f(x)·f(x+2)=13滿足，若f(3)=2，求f(2013)。

解析： ∵f(x)·f(x+2)=13，

∴f(x+2)·f(x+4)=13。

得f(x+4)=f(x)， 函數f(x)是以 4為周期的周期函數。

所以f(2013)=f(503×4+1)=f(1)=

以上證明中x+2代換x，從而化簡為f(x+T)=f(x)形式，得周期T。

類比以上證明，可證下面函數的周期，①②④⑤中用想x＋a代換x就可證得周期為2a而③用 x＋b代換x可證得周期為a＋b，⑥⑦經兩次代換證得周期為4a。

表1

周期證明就是根據給出已知條件等式的特點，將x+a看作一個變量，反復進行代數運算，最后得f(x+T)=f(x)的形式。學會類比代換來證明周期問題，抽象函數就變得簡明。

三、類比探究

例3.對于一切實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)， 若f(1)， 求f(2003)。

解法1：f(2003)=f(2012+1)=f(2012)+f(1)=f(2011)+f(1)+f(1)=f(2010)+3f(1)=…=2013f(1)=8×2013=16104。

解法2：根據抽象函數具有的性質，設f(x)=kx(k≠0)，由f(1)=8得k=8。

f(x)＝8x， 所以f(2013)＝8×2013＝16104。

解法2解題思想耐人尋味，如果講完此法，把表1左邊列出，教師有意識地去引導學生探究和挖掘，學生類比探究得右邊的模型，對激發學生的探究興趣，培養學生的創新能力和理性精神均大有裨益，同時會得到一些有價值的結論和重要的解題思想，對提高學生的解題能力有很大的幫助.

總之，類比思想方法博大精深，能夠收到嚴格邏輯推理所不能達到的效果，它能提高學生的數學素質，改善思維品質，它能揭示數學的秘密，在數學學習中是最不可忽視的,盡管類比不一定完全可靠，但它的確是我們教學中不可缺的，從某種意義上講學生要學會數學，先要學會類比，在類比中發現.這就是所謂的插上類比翅膀，成就高效課堂。