改編課本例題 聚焦中考考點

二次函數是研究實際生活中某些常見最優化問題的常用數學模型，是初中數學的重點內容，蘊含了函數的主要思想方法.對二次函數的深入研究可以為今后進一步學習其他函數知識積累豐富的數學經驗.在這一章的內容中，教材中的例題更為突出地體現了對二次函數核心知識和重要思想方法的考查.很多地區的中考題都源于教材，以熟悉的素材為背景進行挖掘并拓展.下面對蘇科版教材中本章知識的例題進行延伸，以幫助同學們鞏固知識和方法，提升學習能力.

例1（改編自第17頁例題）二次函數y=-x2-4x-m（m為常數）.

（1）當m=6時，畫出函數圖像，指出頂點坐標、對稱軸、最大值或最小值.

（2）函數y=-x2+4x-1經過怎樣的平移能與（1）中圖像重合？

（3）若函數y=-x2-4x-m圖像頂點在一次函數y=2x圖像上，求m的值.

【解析】（1）要畫出函數的圖像，可先將函數表達式變形為y=a（x+h）2+k的形式，也可將a、 b、c的值代入頂點坐標公式求出頂點坐標，再通過列表、描點、連線，畫出圖像.

m=6時，經過計算，我們可以得到頂點坐標為（-2，-2），對稱軸是過點（-2，-2）且與y軸平行的直線，當x=-2時，有y最大值=-2.

（2）當a相同時，二次函數圖像的形狀大小一樣，若要圖像重合，讓頂點重合即可.將函數y=-x2+4x-1圖像的頂點（2，3）平移到（-2，-2）的過程是：先向左平移4個單位，再向下平移5個單位，可使圖像重合.

（3）先求出函數y=-x2-4x-m圖像的頂點坐標為（-2，4-m），再將該頂點坐標代入一次函數表達式y=2x，轉化為關于m的一元一次方程之后，求出m值等于8.

例2（改編自第22頁例3）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過點（0，-6），（3，0），（-1，0），求二次函數的表達式.

【解析】方法一：由二次函數圖像經過點（0，-6），可知c=-6，可設二次函數表達式為y=ax2+bx-6，將點（3，0），（-1，0）代入，解方程組得a=2，b=-4.

所以二次函數表達式為y=2x2-4x-6.

方法二：點（3，0），（-1，0）的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可設y=a（x-3）（x+1），再將點（0，-6）代入即可，得a=2.

所以二次函數表達式為y=2（x-3）（x+1）=2x2-4x-6.

方法三：由點（3，0），（-1，0）的對稱性可知二次函數圖像的對稱軸是直線x=1，可以設y=a（x-1）2+k，再將點（0，-6），（3，0）代入，解得a=2，k=-8.

所以二次函數表達式為y=2（x-1）2-8=2x2-4x-6.

例3 已知二次函數y=2（x-2）（x-m-1）（m為常數）.求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點.

【解析】y=0時，2（x-2）（x-m-1）=0，得x1=2，x2=m+1.

當m+1=2，即m=1時，方程有兩個相等的實數根；當m+1≠2，即m≠1時，方程有兩個不相等的實數根.所以，不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點.

類似地也可將此題改編為：

已知二次函數y=（x-m）2-2（x-m）（m為常數）.求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個不同公共點.

同學們可以試著利用上述方法證明.

例4 水果店張阿姨以每斤2元的價格購進某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤.通過調查發現，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤.為了保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價銷售.

（1）若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是多少斤（用含x的代數式表示）？

（2）銷售這種水果，要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？

【解析】（1）每斤的售價降低x元，則每天斤，即（100+200x）斤.因為張阿姨要保證每天至少售出260斤，才降價的，所以，當100+200x=260時，x≥0.8.所以0.8≤x＜2.

（2）由每天銷售量×每斤盈利=每天盈利300元，得方程（100+200x）（4-2-x）=300，解得時，銷售量是200.因為200＜260，即不能保證每天至少售出260斤，故舍去

所以張阿姨需將每斤的售價降低1元.

例5 某企業生產并銷售某種產品，假設銷售量與產量相等.下圖中的折線ABD、線段CD分別表示該產品每千克生產成本y1（單位：元）、銷售價y2（單位：元）與產量x（單位：kg）之間的函數關系.

（1）請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義.

（2）求線段AB所表示的函數表達式.

（3）當該產品產量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

【解析】（1）因為點D是折線ABD與線段CD的交點，所以點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產量為130kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為42元.

（2）根據線段AB經過的兩點的坐標，利用待定系數法確定一次函數的表達式即可.

（3）利用“總利潤=單位利潤×產量”，列出關于x的二次函數，求得最值即可.

解：（1）點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產量為130kg時，該產品每千克生產成本與銷售價相等，都為42元.

（2）設線段AB所表示的函數關系式為y1=k1x+b1，因為 y1=k1x+b1的圖像過點（0，60）與（90，42），將這兩點的坐標代入函數關系式，解方程組，所以這個一次函數的表達式為：y1=-0.2x+60（0≤ x≤ 90）.

同學們要注意線段AB的自變量有取值范圍.

（3）設CD所表示的函數關系式為y2=k2x+b2，因為經過點（0，120）與（130，42），同理，所以這個一次函數的表達式為y2=-0.6x+120（0≤x≤ 130）.

設產量為xkg時，獲得的利潤為W元，當0≤x≤90時，W=x［（-0.6x+120）-（-0.2x+60）］=-0.4（x-75）2+2250，當x=75時，W的值最大，最大值為2250.

當90≤x≤130時，W=x［（-0.6x+120）-42］=-0.6（x-65）2+2535，當x＞65時，W隨x的增大而減小，因為90≤x≤130，∴x=90時，W有最大值，最大值為W=-0.6（90-65）2+2535=2160.因為2160＜2250，因此當該產品產量為75kg時，獲得的利潤最大，最大值為2250元.

我們對例題的學習要掌握方法，積累經驗，加深理解函數問題的本質.

如例1中，對圖像的平移需理解兩個要點：圖像形狀大小相同轉化為a值相同，圖像平移轉化為關鍵點（主要是頂點）的平移.

例2中，求函數表達式本質是將問題轉化為求常數值，根據提供的條件選擇合適的表達式如一般式、頂點式、交點式等，從而轉化為方程（組）.

例3要證明圖像與x軸有公共點，其本質是證明存在x使y值為0，根的判別式就是由解一元二次方程的公式法中二次根式的定義演化而來，也可以用因式分解法、配方法來說明.

例4和例5關鍵是理解變量x、y的含義，依據相等關系轉化為函數問題，并利用函數性質或方程知識來解決問題.而例5中由于生產成本是折線ABD，故需分類討論，同時要注意自變量x的取值范圍.