A、B兩點(diǎn)漂流記

同學(xué)們，在我們學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的過程中，一定繞不開對(duì)圖像的學(xué)習(xí).我們知道所有的對(duì)函數(shù)圖像的研究常常從圖像上的點(diǎn)開始，今天我們就從A、B兩點(diǎn)開始，來一次漂流之旅.

問題1 已知A（2，0），B（-2，0）兩點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，你能得到哪些結(jié)論？

【分析】這里我們很多同學(xué)首先想到的是通過待定系數(shù)法來探究，即先設(shè)y=ax2+bx+c（a≠0），然后把點(diǎn)代入看看.這一思路并不奇怪，相反，它是我們將點(diǎn)與圖像的“形關(guān)系”對(duì)應(yīng)到坐標(biāo)與函數(shù)表達(dá)式的“數(shù)關(guān)系”的一種“最近聯(lián)想”.

可以解得：b=0.但對(duì)a和c，只能判斷出其關(guān)系為4a=-c.因此對(duì)于問題1，我們可以給出上述的結(jié)論.那么這個(gè)問題還有其他結(jié)論嗎？如果沿著b=0，4a=-c繼續(xù)往下思考，其二次函數(shù)表達(dá)式就為y=ax2+c，這個(gè)函數(shù)圖像有什么特征呢？結(jié)合教材，我們知道這個(gè)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為y軸所在直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-c），這也是可以得到的結(jié)論.有的同學(xué)還可以得到函數(shù)圖像與橫軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)等其他正確的結(jié)論，在此不一一列舉.下面，我們繼續(xù)跟著這兩個(gè)點(diǎn)漂流，看看還有什么發(fā)現(xiàn).

問題2 已知A（2，1），B（-2，1）兩點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，你能得到哪些結(jié)論？

這個(gè)問題看起來和問題1有點(diǎn)類似啊！我們繼續(xù)按照上面的思路思考

可以解得：b=0，此時(shí)a和c的關(guān)系已經(jīng)變?yōu)?a=1-c.進(jìn)一步思考，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸依然為y軸所在直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）.當(dāng)然，這里a，c的值與問題1中a，c的值未必相同.可能有同學(xué)就會(huì)猜想了，為什么這兩個(gè)點(diǎn)變化了，我們都能得到對(duì)稱軸仍然是y軸所在直線呢？這條對(duì)稱軸的表達(dá)式為：直線x=0.它和我們所給的兩點(diǎn)有關(guān)系嗎？A、B兩點(diǎn)有什么特征呢？帶著疑問，我們繼續(xù)跟著A、B兩點(diǎn)漂流.

問題3 已知A（m，p），B（-m，p）兩點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，函數(shù)圖像的對(duì)稱軸還是y軸所在直線嗎？

漂流到這里，聰明的你一定發(fā)現(xiàn)此時(shí)“漂流”的這兩點(diǎn)是有一個(gè)規(guī)律的，那就是橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同.那么具有這樣“式結(jié)構(gòu)”特征的坐標(biāo)，其對(duì)應(yīng)的圖像“形結(jié)構(gòu)”一定是對(duì)稱軸為直線x=0嗎？我們仿照問題1的思考路徑，將兩點(diǎn)代入到函數(shù)一般式里去，得到：

把m，p視為常數(shù)，解得：b=0，此時(shí)a和c的關(guān)系為m2a=p-c.也就是說，此時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式還是y=ax2+c.那么其對(duì)稱軸依然是直線x=0（即y軸所在直線）.這樣的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)初具數(shù)學(xué)的一般性了.不過我們?nèi)绻^續(xù)跟著這兩點(diǎn)漂流，還有更驚奇的發(fā)現(xiàn).

問題4 已知A（m，p），B（n，p）（m≠n）兩點(diǎn)在二次函數(shù)圖像上，那么這個(gè)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是什么呢？

兩式相減得到：（m+n）（m-n）a+（m-n）b=0，等式左邊分解因式得到：（m-n）［（m+n）a+b］=0，因?yàn)閙≠n，所以（m+n）a+b=0，可以進(jìn)一，即二次函數(shù)圖像，當(dāng)m=-n時(shí)，即為前面問題所得到的結(jié)論：二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=0.那么，到這里我們就不難得出這樣一個(gè)結(jié)論：如果二次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，如：A（m，p），B（n，p），那么這個(gè)二次函數(shù)

其實(shí)這個(gè)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)可以從上面的思路以“數(shù)”的角度進(jìn)行推理得出，還可以從“形”的角度得到.首先看問題1，把A（2，0），B（-2，0）兩點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系中，就可以看出他們是在同一條直線上的兩點(diǎn)，即二次函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).那么根據(jù)二次函數(shù)圖像的軸對(duì)稱性，可知這兩點(diǎn)是關(guān)于二次函數(shù)圖像對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以可以知道其對(duì)稱軸就是y軸所在直線.同理推廣到一般化A（m，p），B（n，p）兩點(diǎn)，則是二次函數(shù)圖像與直線x=p的兩個(gè)交點(diǎn)，也是關(guān)于其對(duì)稱軸對(duì)稱的，所以對(duì)稱軸

那么兩點(diǎn)漂流到這里，很多同學(xué)心中一定有所感悟，原來通過二次函數(shù)圖像上的符合這樣特征的兩點(diǎn)還能知道拋物線的對(duì)稱軸啊！這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)我們解決有關(guān)的二次函數(shù)問題有很大幫助.

問題5 已知二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數(shù)）.

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn).

（2）如果二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸過點(diǎn)（3，0），那么將這個(gè)函數(shù)圖像向上平移多少個(gè)單位，與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？

【解析】（1）證明略，過程見第43頁(yè)例3.

解：（2）因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像對(duì)稱軸過點(diǎn)（3，0），又總過點(diǎn)（1，0），那么根據(jù)前面的理解，可知點(diǎn)（1，0），（m+3，0）關(guān)于直線x=3對(duì)稱，所以可以求得m=2，于是可得函數(shù)表達(dá)式為y=2（x-1）（x-5），求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-8），所以函數(shù)圖像向上平移8個(gè)單位與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).