跟著天貓店主追求“最大利潤”

在天貓開店的店主們很會賺錢，他們賺錢的方法主要有兩種，一種是薄利多銷，一種是厚利少賣.今天就讓我們走近這些店主，看看他們是如何賺錢的.

【問題】天貓某店經營某種品牌的玩具，進價為60元/件.當定價為80元/件時，平均每周可銷售300件.每件玩具每降價1元，每周就會多賣出25件玩具；每件玩具每漲價1元，每周就會少賣出10件玩具.售價為多少元時，才能使每周銷售利潤最大？

【分析】調整價格包括降價和漲價兩種情況，即：降價時，雖然每件的利潤減少了，但是銷售數量增加了，所以同樣可能使銷售的總利潤增加；漲價時，雖然銷售數量減少了，但是每件的利潤增加了，所以可能使銷售的總利潤增加.

本題用到的數量關系是：單件利潤=售價-進價；銷售總利潤=單件利潤×銷售數量.

下面，同學們可以嘗試以降價和漲價兩種情況來設計一組追問進行鋪墊，進而尋求本題解決方案：

一、降價時

【追問】1.售價為x元，銷售數量為多少元？

2.設銷售總利潤為y元，那么y與x的函數關系式是什么？

3.售價為x元，銷售總利潤為y元時，可獲得的最大利潤是多少？

【分析】根據題意，每件玩具每降價1元，每周就會多賣出25件玩具.如果知道了降多少元，就必然知道多賣多少件，那么降了多少元呢？最初的售價是80元，降價后的售價是x元，那么它們之間的差值就是所降的價格，即降價（80-x）元.我們知道降1元多賣25件，現在降了（80-x）元，所以多賣的數量就是25×（80-x）件.總共賣的應該是原來賣的加上多賣的，即300+25×（80-x）.所以數量就是［300+25×（80-x）］件.單件利潤是（x-60），銷售數量是300+25×（80-x），則總利潤y=（x-60）［300+25×（80-x）］.求最大利潤時，只要根據二次函數的圖像性質求最值即可.

用表格表示為：

進價定價現價單件利潤原數量多賣的數量現數量降價60 80 x（x-60）300 25×（80-x）300+25×（80-x）

【解答】解：1.300+25×（80-x）.

2.y=（x-60）［300+25×（80-x）］.

3.y=（x-60）［300+25×（80-x）］=-25x2+3800x-138000.

∵a=-25，拋物線開口向下，

∴售價為x元，銷售總利潤為y元時，可獲得的最大利潤是6400元.

二、漲價時

【追問】1.售價為x元，銷售數量為多少元？

2.設銷售總利潤為y元，那么y與x的函數關系式是什么？

3.售價為x元，銷售總利潤為y元時，可獲得的最大利潤是多少？

【分析】根據題意，每個玩具每漲價1元，每周就會少賣出10件玩具.如果知道了漲多少元，就必然知道少賣多少件，那么漲了多少元呢？最初的售價是80元，漲價后的售價是x元，那么它們之間的差值就是所漲的價格，即漲價（x-80）元.我們知道漲1元少賣10件，現在漲了（x-80）元，那么就應該少賣10×（x-80）件.總共賣的應該是原來賣的減去少賣的，即300-10×（x-80），所以數量就是［300-10×（x-80）］件.單件利潤是（x-60）元，銷售數量是300-10×（x-80），則總利潤y=（x-60）［300-10×（x-80）］.此時求最大利潤同樣是根據二次函數圖像性質來解決.

用表格表示為：

【解答】解：1.300-10×（x-80）.

2.y=（x-60）［300-10×（x-80）］.

3.y=（x-60）［300-10 ×（x-80）］=-10x2+1700x-66000.

∵a=-10，拋物線開口向下，

∴售價為x元，銷售總利潤為y元時，可獲得的最大利潤是6250元.

∵6400＞6250，∴當售價為76元時，才能使每周的銷售利潤最大.

本題在設未知數時，總利潤是因變量y，而對自變量x可以有兩種認識：

（1）自變量x是漲了x元或降了x元.

（2）自變量x是最終的銷售價格.

上述是根據第二種情況解答的.如果是根據第一種情況，分析的思路一樣，分別表示出單件利潤和銷售數量即可.

初中階段的最大利潤問題一般是二次函數問題，是因為如果單件商品的利潤隨著售價線性變化，銷售數量也隨著售價線性變化.這兩個量的乘積就是總利潤.兩個關于x的一次多項式相乘，結果便會出現關于x的二次項，即出現了二次函數.如果在列表達式時發現單件利潤里沒有x，或銷售數量里沒有x，那么，很不幸地告訴你，你的賬算錯了.

實際生活中的情況也許比這個問題要復雜得多，但一般的規律是：商品一旦漲價，顧客的購買量會減少，也就是說漲價后，單個利潤升高了，銷售數量減少；如果是降價，顧客購買量會增多，所以降價后，單個利潤降低了，銷售數量反而增高.所謂的“此消彼長”大概就是這個意思吧！同學們可以根據這個規則算最大利潤啦！