當拋物線“遇上”等邊三角形

江蘇省海安市城南實驗中學九（3）班

二次函數的圖像是拋物線，常常有一些特殊圖形與它相伴.最近經常做到一類拋物線與等邊三角形的綜合題，深入鉆研之后，我發現了一個有趣的性質，這里記錄出來，與大家分享一下.

例題平面直角坐標系xOy中，頂點為C的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B點（點A在點B左邊）.若△ABC為等邊三角形，求證：b2-4ac=12.

圖1

解答思路：可以先畫出圖1進行草圖分析（設a＞0，拋物線開口向上），△ABC為等邊三角形時，想到作出CH⊥AB于點H，根據特殊的“邊角關系”可得CH=AB.這時CH與拋物線頂點C的縱坐標有關，重點把AB的長也表示出來就行了.考慮到拋物線y=ax2+bx+c與x軸（即直線y=0）交于A，B點，則點A，B的橫坐標對應著關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根.再表示出拋物線頂點C的坐標，作出CH⊥AB于H，則等腰三角形ABC底邊上的高CH就是

走向一般：如圖2，平面直角坐標系xOy中，頂點為C的拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n交于A，B點.若△ABC為等邊三角形，是否仍然有b2-4ac=12？

圖2

思路探究：此時對應的方程是拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n聯立得到的關于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0.關于x的一元二次方程可算出AB的長為線頂點C的坐標出CH⊥AB于H，則等邊三角形ABC底邊上的高

知道了拋物線的內接等邊三角形對應著“Δ=12”這個性質，對有些習題的解答是十分方便的，比如我遇到的下面的這道題：

習題二次函數y=ax2+bx+1（a≠0）的圖像與x軸有兩個交點A，B，頂點是C.若△ABC恰好是等邊三角形，則代數式b2-2（2a-3）的值為_______.

解答：把代數式b2-2（2a-3）展開整理，得到b2-4a+6，再對照二次函數表達式中常數項c=1，即待求式子轉化為b2-4ac+6，結合△ABC恰好是等邊三角形，可得Δ=12，于是代數式b2-2（2a-3）的值為18.

同學們，我總結的“這一招”，你們學會了嗎？

教師點評

曹姝同學這篇數學寫作質量很高，達到“數學小論文”的級別，其對拋物線“內接等邊三角形”的探究不只是對圖形關系的研究，而是挖掘特殊三角形與拋物線解析式中系數的對應關系，而且有“走向一般”的深度拓展，也體現了“以形助數”“以數馭形”的數學思想.受到她“走向一般”的啟發，我們還可以進一步“擴大成果”，把與之相關的同類問題再做一些梳理.在例題的圖形中，適當變式，還可提出以下問題：

（1）若△ABC為直角三角形，則△ABC為等腰直角三角形，有AB=2CH，

（2）若△ABC中∠ACB=120°，有AB=23·CH，

我們把“它們”都列到一起：平面直角坐標系xOy中，頂點為C的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B點（點A在點B左邊）.

（1）若△ABC為直角三角形，求證：Δ=4.

（2）若△ABC為等邊三角形，求證：Δ=12.