分析中考考點 提升解題能力

康葉紅

“二次函數”是中考考查函數知識的重要載體.考查內容包括：二次函數的概念、圖像和性質，用待定系數法確定二次函數的表達式，二次函數與一元二次方程的聯系，用二次函數的圖像和性質解決實際問題，等等.現選取2018年部分地區中考試題中一些經典問題加以剖析，旨在與同學們共同研究二次函數在中考中的考查方向，并以此感受二次函數在學習中的魅力.

考點一 二次函數的表達式

例1 （2018·山東濟寧）如圖1，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（3，0），B（-1，0），C（0，-3）.求該拋物線的解析式.

圖1

【解析】已知二次函數經過不共線的3個點，求二次函數的解析式是常見問題，經常要借助“待定系數法”來解決問題.即要確定函數解析式中幾個待定的系數，就相應地需要幾個已知條件，并根據這些已知條件列出方程（組）求解.

方法一：

解：由函數圖像經過點A（3，0），B（-1，0），C（0，-3），得到關于 a，b，c的三元一次方程

∴該拋物線的解析式是y=x2-2x-3.

方法二：

解：由點A（3，0），B（-1，0），可知點A，B是函數圖像與x軸相交的兩個交點，且關于拋物線的對稱軸對稱.

∴對稱軸是過點（1，0）且與y軸平行的直線.

∴設二次函數解析式是y=a（x-1）2+k（a≠0）.根據函數圖像經過A（3，0），C（0，-3）兩點，得到關于a，k的二元一次方程組

∴該拋物線的解析式是y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

方法三：

解：由函數圖像經過點A（3，0），B（-1，0），可知點A，B是函數圖像與x軸相交的兩個交點，所以可設二次函數解析式是y=a（x-3）（x+1）（a≠ 0）.

由函數圖像經過C（0，-3），得到關于a的一元一次方程：-3a=-3，解得：a=1.

∴該拋物線的解析式是y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3.

【點評】本題考查給定不共線的三點的坐標確定一個二次函數，可以通過設二次函數解析式，再用待定系數法來解決.

考點二 二次函數圖像的平移

例2 （2018·江蘇淮安）將二次函數y=x2-1的圖像向上平移3個單位長度，得到的圖像所對應的函數表達式是 .

【解析】二次函數y=x2-1經過點（0，-1），而點（0，-1）向上平移3個單位長度是點（0，2）.

設平移后的二次函數表達式是y=x2-1+b.

∵平移后的二次函數圖像經過點（0，2），可得：b=3，

∴平移后的二次函數表達式是y=x2+2.

【點評】本題考查了二次函數圖像的平移與表達式之間的關系.二次函數圖像的平移的本質就是二次函數圖像上的每一個點的平移.平移不改變圖像的形狀、大小，因此只需要通過特殊點的平移，即可求出新的函數表達式.

考點三 判斷二次函數頂點的位置

例3 （2018·陜西）對于拋物線y=ax2+（2a-1）x+a-3，當x=1時，y＞0，則這條拋物線的頂點一定在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】當x=1時，y=a+2a-1+a-3=4a-4＞0，解得a＞1，則拋物線的開口向上.

故這條拋物線的頂點必在第三象限.

【點評】本題考查了根據二次函數的性質和圖像特征來確定二次函數頂點坐標的位置.以從這個頂點坐標直接判斷橫、縱坐標符號，從而判斷頂點坐標所在象限.即根據二次函數的圖像特征和性質，可分析出二次函數圖像頂點的坐標特征.

考點四 二次函數的性質

例4 （2018·河北）已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）經過點（-1，0），（0，3），其對稱軸在y軸右側，有下列結論：

① 拋物線經過點（1，0）.

②方程ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數根.

③-3＜a+b＜3.

其中，正確結論的個數為（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】根據題意畫出草圖（如圖2）.

圖2

①∵拋物線與x軸的一個交點的坐標為（-1，0），對稱軸在y軸右側，

∴拋物線與x軸的另一個交點橫坐標必定大于1，不可能經過（1，0），故①錯誤.

②過（0，2）作x軸的平行線，如圖2所示，它與拋物線有兩個交點，故方程ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數根，故②正確.

③∵拋物線經過點（0，3），

∴c=3，

∴二次函數解析式是y=ax2+bx+3.

當x=1時，對應的y值為a+b+3＞0，

∴a+b＞-3.

∵拋物線經過點（-1，0），

∴a-b+c=0，∴b=a+c，

∴a+b=2a+c.

∵拋物線開口向下，

∴a＜0，∴2a+c＜c，即a+b＜3.

∴-3＜a+b＜3，故③正確.

綜上，正確的結論是②③兩個，故選擇C.

【點評】本題考查了二次函數圖像的位置與系數的關系、二次函數與一元二次方程的關系、關鍵點的坐標特征.畫出圖像，結合二次函數的性質和圖像特征來分析題意是解決這類問題的關鍵.

考點五 二次函數的實際應用

例5 （2018·甘肅蘭州）某商家銷售一款商品，進價每件80元，售價每件145元，每天銷售40件，每銷售1件需支付給商場管理費5元.未來一個月（按30天計算），這款商品將開展“每天降價1元”的促銷活動，即從第一天起，每天的單價比前一天降1元，通過市場調查發現，該商品單價每降1元，每天銷售增加2件，設第x天（1≤x≤30且x為整數）的銷量為y件.

（1）直接寫出y與x之間的函數關系式.

（2）設第x天的利潤為w元，試求出w與x之間的函數關系式，并求出哪一天的利潤最大？最大利潤是多少元？

【解析】解：（1）y=2x+40.

（2）w=（2x+40）（145-80-5-x）=-2（x-20）2+3200.∵1≤x≤30且x為整數，∴x=20時，w取得最大值，最大值為3200.故第20天的利潤最大，為3200元.

【點評】本題考查同學們能否在具體情境中建立二次函數模型、體會二次函數是刻畫現實世界數量關系的有效模型，以及運用二次函數及其性質解決最值等實際問題的能力.