二次函數攻略

焦倩玉

函數是數學中極為重要的基本概念，是數學學習中的重要知識點.二次函數是一種重要的代數函數，是描述現實世界變量之間關系的重要數學模型，也是中考的常見考點.同學們應能結合具體情境體會和理解二次函數的意義，能根據已知條件確定它們的表達式，會畫它們的圖像，能結合圖像討論二次函數的性質，確定圖像的頂點和對稱軸，并能利用這些函數分析和解決簡單實際問題.

考點一 運用二次函數解決最值問題

例1 （2018·遼寧錦州）某商場銷售一種商品，進價為每個20元，規定每個商品售價不低于進價，且不高于60元，經調查發現，每天的銷售量y（個）與每個商品的售價x（元）滿足一次函數關系，其部分數據如下所示：

每個商品的售價x（元）每天的銷售量y（個）… …30 40 50 100 80 60… …

（1）求y與x之間的函數表達式.

（2）設商場每天獲得的總利潤為w（元），求w與x之間的函數表達式.

（3）不考慮其他因素，當商品的售價為多少元時，商場每天獲得的總利潤最大，最大利潤是多少？

【解析】根據函數表達式求二次函數的最ax2+bx+c有最大（小）值問題情境下，二次函數中自變量的取值范圍不一定是全體實數，所對應的圖像也可能是拋物線的一部分.

解：（1）設y與x之間的函數解析式y=kx+

即y與x之間的函數表達式是y=-2x+160.

（2）由題意可得，w=（x-20）（-2x+160）=-2x2+200x-3200.

即w與x之間的函數表達式是w=-2x2+200x-3200.

（3）∵w=-2x2+200x-3200=-2（x-50）2+1800，20≤x≤60，

∴當20≤x≤50時，w隨x的增大而增大.

當50≤x≤60時，w隨x的增大而減小.

當x=50時，w取得最大值，此時w=1800元.

即當商品的售價為50元時，商場每天獲得的總利潤最大，最大利潤是1800元.

考點二 用待定系數法確定二次函數表達式

例2 （2016·江蘇南京）下圖是拋物線形拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4m.從O，A兩處觀測P處，仰角分別為α，β，且.以O為原點，OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy.

（1）求點P的坐標.

【解析】用待定系數法確定二次函數表達式通常有兩種方式：①設為一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；②設為頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0）.要根據題目已知條件選擇合適的表達式.若函數圖像對稱軸為y軸，則一般式中的b=0；若函數圖像經過原點，則一般式中的c=0；若已知頂點，則優先考慮頂點式.

解：（1）過點P作PB⊥x軸于B.設點P的縱坐標為t，則PB=t.

（2）設這條拋物線的函數表達式為y=ax2+bx.

x2-x1=（2+ 2）-（2- 2）=22 ≈2.8m

答：水面上升1m，水面寬2.8m.

考點三 二次函數的圖像與性質

例3（2017·江蘇南京）已知函數y=-x2+（m-1）x+m（m為常數）.

（1）該函數的圖像與x軸公共點的個數是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.1或2

提素質、強能力，創新人才工作新機制。一直以來西南銅業公司黨委匡正選人用人風氣，完善選人用人機制，堅持嚴管和厚愛結合、激勵和約束并重，優化干部考核評價機制。抓好各級干部的領導、監管、屬地和執行責任，提升黨政共融，黨務干部要抓安全、懂生產、謀經營，行政干部要講政治、會黨建、抓文化。完善激勵機制和容錯糾錯機制。開展好選人用人制度修訂、培訓及考核、中層管理人員畫像、后備干部選拔等工作。堅持黨管人才原則，推進員工人才成長體系建設，明晰各條人才通道的晉升、考核、退出、流動機制，為培養公司“素質優良、結構合理、隊伍穩定”的員工隊伍打下扎實基礎。

（2）求證：不論m為何值，該函數的圖像的頂點都在函數y=（x+1）2的圖像上.

（3）當-2≤m≤3時，求該函數的圖像的頂點縱坐標的取值范圍.

解：（1）∵y=-x2+（m-1）x+m，

∴a=-1，b=m-1，c=m，

∴b2-4ac=（m-1）2-4×（-1）×m=m2+2m+1=（m+1）2≥0.

∴該函數的圖像與x軸公共點的個數為1或2，故選D.

（2）∵y=-x2+（m-1）x+m，

∴a=-1，b=m-1，c=m，

故該二次函數圖像的頂點坐標為：

∴不論m為何值，該函數的圖像的頂點都在函數y=（x+1）2的圖像上.

當m＜-1時，z隨m的增大而減小；當m＞-1時，z隨m的增大而增大.

∴當-2≤m≤3時，該函數的圖像的頂點縱坐標的取值范圍是0≤z≤4.

對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），它的頂同學們應能夠熟練畫出二次函數的圖像，根據圖像研究它們的性質.在實際問題中，可根據二次項系數的正負性、函數圖像的開口方向不同，判斷在自變量的取值范圍內所對應的函數的取值范圍，從而解決最值問題.