妙解二次函數(shù)中考題

畢美秀

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中既重要又基礎(chǔ)的內(nèi)容，并還將延伸到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去.它在中考中是考查同學(xué)們初中數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力的重要題目類型之一，涉及多方面的基礎(chǔ)知識(shí).從近年來的中考試題來看，將二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)等函數(shù)，以及與圓、三角形、四邊形等圖形方面的知識(shí)點(diǎn)綜合出題的情況十分常見，并且這類題目解題的重要突破口往往就在于二次函數(shù).因此，對(duì)于這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)來說，充分掌握二次函數(shù)相關(guān)題目的解題策略是十分重要且有意義的.下面，我們以近年中考題為例，談一談二次函數(shù)中常見的解題技巧.

一、在求二次函數(shù)解析式時(shí)，除了數(shù)值代入一般式外，還可考慮頂點(diǎn)式或者交點(diǎn)式

例1（2018·湖南懷化）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖1

【解析】第一問的通法是：函數(shù)解析式中有兩個(gè)待定的系數(shù)，將A（-1，0），B（3，0）代入，得到關(guān)于a，c的二元一次方程組，解方程組可得a，c的值，從而確定拋物線的解析式.如果仔細(xì)審題，看到A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)是拋物線與x軸的交點(diǎn)，那么也可以設(shè)交點(diǎn)式來解決.

對(duì)于第二問，BD的長(zhǎng)已經(jīng)確定了，若使△BDM的周長(zhǎng)最小，即找一點(diǎn)M，使BM+DM最小，且M在y軸上.

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），展開得到y(tǒng)=ax2-2ax-3a，由代數(shù)式的恒等可得-2a=2，解得a=1，即可得拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3.

（2）作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接B1D，交y軸于一點(diǎn)，則此點(diǎn)即為M點(diǎn).

∵BM+DM=B1M+DM，

若使BM+DM最小，滿足B1M+DM最小即可.

而兩點(diǎn)之間，線段最短，所以B1D與y軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)M.

∵B（3，0），

∴B1（-3，0）.

又∵點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，

∴D（1，4），

∴直線B1D的解析式是：y=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=3.

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，3）.

【點(diǎn)評(píng)】這道題如果都使用通法，將點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)值代入一般式，需要解二元一次方程組或者三元一次方程組，計(jì)算量較大；而通過交點(diǎn)式則只需解一元一次方程，無疑計(jì)算量大大減少，速度和正確率也得到提升.

二、利用二次函數(shù)圖像的軸對(duì)稱性解題

例2 （2018·貴州黔南）已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表格所示，那么它的圖像與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是_______.

x y……-1 0 0 3 1 4 2 3……

【解析】通過觀察，發(fā)現(xiàn)（0，3），（2，3）兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，從而求得對(duì)稱軸，再利用對(duì)稱性解答即可.

解：由（0，3），（2，3）可知對(duì)稱軸方程為x=，點(diǎn)（-1，0）關(guān)于對(duì)稱軸直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)應(yīng)為（3，0），因此拋物線的圖像與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）.

例3 （2018·北京）跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一.運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線y=ax2+bx+c的一部分，運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系（a≠0）.

下圖2記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為（ ）.

圖2

A.10m B.15m C.20m D.22.5m

【解析】本題是選擇題，不一定要直接求出對(duì)稱軸，可根據(jù)拋物線的對(duì)稱性判斷出對(duì)稱軸的范圍，進(jìn)而做出正確的選擇.

解：設(shè)對(duì)稱軸為直線x=h，

所以10＜h＜20.

即該運(yùn)動(dòng)員飛到最高點(diǎn)時(shí)水平距離h應(yīng)在10m與20m之間，因此選B.

【點(diǎn)評(píng)】按照一般方法，例2要求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，得先利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，再令y=0，求ax2+bx+c=0的解，得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo).例3要求出運(yùn)動(dòng)員飛到最高點(diǎn)時(shí)的水平距離即頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，需要先求出拋物線的解析式，再通過配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo).在求拋物線解析式時(shí)無一例外都要通過數(shù)值代入得到二元一次方程組或者三元一次方程組，例3的數(shù)據(jù)比較大，勢(shì)必給同學(xué)們的計(jì)算帶來難度.而這兩道題都是客觀題，在中考中如果因?yàn)椴捎猛ǚㄟM(jìn)行大量計(jì)算而花費(fèi)較多時(shí)間，無疑會(huì)影響答題速度.

三、利用二次函數(shù)圖像的性質(zhì)與系數(shù)之間的關(guān)系，解二次函數(shù)圖像信息題

近幾年全國(guó)許多中考試卷中都出現(xiàn)了不同層次的二次函數(shù)圖像信息題，即根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c確定相關(guān)代數(shù)式取值范圍的考題.我們將涉及到的二次函數(shù)圖像的位置與系數(shù)之間的關(guān)系整理成以下六條“辨析點(diǎn)”：

辨析1：a的符號(hào)與拋物線的開口方向有關(guān)，a＞0，開口向上；a＜0，開口向下.

辨析2：ab的符號(hào)與對(duì)稱軸的位置有關(guān)，ab＞0，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；ab＜0，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).

辨析3：c的符號(hào)與拋物線和y軸交點(diǎn)的位置有關(guān)，c＞0，交點(diǎn)在y軸正半軸（或稱為在x軸上方）；c＜0，交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸（或稱為在x軸下方）.

辨析4：b2-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；b2-4ac=0，拋物線與x軸有且只有1個(gè)交點(diǎn)；b2-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

辨析5：x的特殊值確定了特殊代數(shù)式的取值及符號(hào).

例如，x=1時(shí)，y=a+b+c，a+b+c的值的符號(hào)由x=1時(shí)y的符號(hào)確定.

x=-1時(shí)，y=a-b+c，a-b+c的值的符號(hào)由x=-1時(shí)y的符號(hào)確定.

辨析6：只與a，b兩字母有關(guān)的代數(shù)式取值一般與對(duì)稱軸方程取值有關(guān).

例4 （2018·湖北恩施）拋物線的對(duì)稱軸為直線，部分圖像如圖3所示，下列判斷中：

①abc＞0.

②b2-4ac＞0.

③9a-3b+c=0.

④若點(diǎn)（-0.5，y1），（-2，y2）均在拋物線上，則y1＞y2.

⑤5a-2b+c＜0.

其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）個(gè).

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】根據(jù)二次函數(shù)六條辨析點(diǎn)一一判斷即可.

解：根據(jù)辨析1，拋物線開口向上，所以a＞0.

根據(jù)辨析2，對(duì)稱軸為直線x=-1，在y軸左側(cè)，所以ab＞0.

根據(jù)辨析3，圖像與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，所以c＜0.因此abc＜0，選項(xiàng)①錯(cuò)誤.

根據(jù)辨析4，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b2-4ac＞0，因此選項(xiàng)②正確.

根據(jù)對(duì)稱性，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)應(yīng)為（-3，0），根據(jù)辨析5，將（-3，0）代入y=ax2+bx+c，可知9a-3b+c=0，因此選項(xiàng)③正確.

因?yàn)辄c(diǎn)（-0.5，y1），（-2，y2）均在拋物線上，對(duì)稱軸為直線x=-1，（-0.5，y1）與對(duì)稱軸的水平距離小于（-2，y2）與對(duì)稱軸的水平距離，所以（-0.5，y1）更靠近頂點(diǎn)，則y1＜y2，因此選項(xiàng)④錯(cuò)誤.

根據(jù)辨析5，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則有a+b+c=0，根據(jù)辨析6，拋物線的對(duì)=-1，即b=2a.所以a+b+c=a+2a+c=0，可得c=-3a，即5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，因此選項(xiàng)⑤正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的特征，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用六條辨析點(diǎn)，屬于中考常考題型.

四、巧用平移變換簡(jiǎn)化二次函數(shù)問題

例5 （2013·江蘇南京）已知二次函數(shù)y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m為常數(shù)，a≠0）.

（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）設(shè)該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D.①當(dāng)△ABC的面積等于1時(shí)，求a的值；②當(dāng)△ABC的面積與△ABD的面積相等時(shí)，求m的值.

【解析1】要找拋物線與x軸的交點(diǎn)情況，根據(jù)上述辨析4，要看b2-4ac的符號(hào).

解：（1）將y=a（x-m）2-a（x-m）化為一般式y(tǒng)=ax2-（2ma+a）x+（am2+am），計(jì)算b2-4ac，得b2-4ac=（2ma+a）2-4a（am2+am）=a2，因?yàn)閍≠0，所以a2＞0，即b2-4ac＞0，所以拋物線與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn).

當(dāng)y=0時(shí)，a（x-m）2-a（x-m）=0.

解得x1=m，x2=m+1.所以AB=1.

【點(diǎn)評(píng)】因?yàn)楸绢}含有兩個(gè)參數(shù)a，m，計(jì)算量較大，容易出錯(cuò).

【解析2】先看參數(shù)m.參數(shù)m的意義是使函數(shù)圖像左右平移，通過平移y=a（x-m）2-a（x-m）的圖像，可以得到函數(shù)y=ax2-ax.由于左右平移不會(huì)改變圖像的形狀和大小，所以也就不會(huì)改變圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和交點(diǎn)間的距離.那么研究新函數(shù)y=ax2-ax與x軸交點(diǎn)問題就能解決題目設(shè)置的關(guān)于原始函數(shù)的有關(guān)問題.

再看參數(shù)a.a的意義就是把圖像縱向拉長(zhǎng)或者縮短，橫向不變，它也不會(huì)改變圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和交點(diǎn)間的距離.不妨設(shè)a=1.這樣y=a（x-m）2-a（x-m）就可以簡(jiǎn)化為y=x2-x，再研究y=x2-x與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

解：二次函數(shù)y=x2-x，根據(jù)判別式b2-4ac得b2-4ac=1＞0，則拋物線與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)，經(jīng)過縱向的拉長(zhǎng)或縮短及平移，可知y=a（x-m）2-a（x-m）的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】在函數(shù)問題中，如果研究復(fù)雜函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況，我們可以通過平移變換，使問題簡(jiǎn)單化.