妙解二次函數中考題

畢美秀

二次函數是初中數學中既重要又基礎的內容，并還將延伸到高中數學學習中去.它在中考中是考查同學們初中數學綜合應用能力的重要題目類型之一，涉及多方面的基礎知識.從近年來的中考試題來看，將二次函數與一次函數、反比例函數等函數，以及與圓、三角形、四邊形等圖形方面的知識點綜合出題的情況十分常見，并且這類題目解題的重要突破口往往就在于二次函數.因此，對于這部分內容的學習來說，充分掌握二次函數相關題目的解題策略是十分重要且有意義的.下面，我們以近年中考題為例，談一談二次函數中常見的解題技巧.

一、在求二次函數解析式時，除了數值代入一般式外，還可考慮頂點式或者交點式

例1（2018·湖南懷化）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點.

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）請在y軸上找一點M，使△BDM的周長最小，求出點M的坐標.

圖1

【解析】第一問的通法是：函數解析式中有兩個待定的系數，將A（-1，0），B（3，0）代入，得到關于a，c的二元一次方程組，解方程組可得a，c的值，從而確定拋物線的解析式.如果仔細審題，看到A（-1，0），B（3，0）兩點是拋物線與x軸的交點，那么也可以設交點式來解決.

對于第二問，BD的長已經確定了，若使△BDM的周長最小，即找一點M，使BM+DM最小，且M在y軸上.

解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），展開得到y=ax2-2ax-3a，由代數式的恒等可得-2a=2，解得a=1，即可得拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3.

（2）作點B關于y軸的對稱點B1，連接B1D，交y軸于一點，則此點即為M點.

∵BM+DM=B1M+DM，

若使BM+DM最小，滿足B1M+DM最小即可.

而兩點之間，線段最短，所以B1D與y軸的交點就是點M.

∵B（3，0），

∴B1（-3，0）.

又∵點D是拋物線的頂點，

∴D（1，4），

∴直線B1D的解析式是：y=x+3，當x=0時，y=3.

∴點M的坐標是（0，3）.

【點評】這道題如果都使用通法，將點坐標數值代入一般式，需要解二元一次方程組或者三元一次方程組，計算量較大；而通過交點式則只需解一元一次方程，無疑計算量大大減少，速度和正確率也得到提升.

二、利用二次函數圖像的軸對稱性解題

例2 （2018·貴州黔南）已知：二次函數y=ax2+bx+c圖像上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如表格所示，那么它的圖像與x軸的另一個交點坐標是_______.

x y……-1 0 0 3 1 4 2 3……

【解析】通過觀察，發現（0，3），（2，3）兩點縱坐標相等，從而求得對稱軸，再利用對稱性解答即可.

解：由（0，3），（2，3）可知對稱軸方程為x=，點（-1，0）關于對稱軸直線x=1的對稱點應為（3，0），因此拋物線的圖像與x軸的另一個交點坐標是（3，0）.

例3 （2018·北京）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一.運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線y=ax2+bx+c的一部分，運動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系（a≠0）.

下圖2記錄了某運動員起跳后的x與y的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為（ ）.

圖2

A.10m B.15m C.20m D.22.5m

【解析】本題是選擇題，不一定要直接求出對稱軸，可根據拋物線的對稱性判斷出對稱軸的范圍，進而做出正確的選擇.

解：設對稱軸為直線x=h，

所以10＜h＜20.

即該運動員飛到最高點時水平距離h應在10m與20m之間，因此選B.

【點評】按照一般方法，例2要求出拋物線與x軸的交點，得先利用待定系數法求出拋物線的解析式y=ax2+bx+c，再令y=0，求ax2+bx+c=0的解，得到交點的橫坐標.例3要求出運動員飛到最高點時的水平距離即頂點的橫坐標，需要先求出拋物線的解析式，再通過配方法求出頂點坐標.在求拋物線解析式時無一例外都要通過數值代入得到二元一次方程組或者三元一次方程組，例3的數據比較大，勢必給同學們的計算帶來難度.而這兩道題都是客觀題，在中考中如果因為采用通法進行大量計算而花費較多時間，無疑會影響答題速度.

三、利用二次函數圖像的性質與系數之間的關系，解二次函數圖像信息題

近幾年全國許多中考試卷中都出現了不同層次的二次函數圖像信息題，即根據二次函數y=ax2+bx+c確定相關代數式取值范圍的考題.我們將涉及到的二次函數圖像的位置與系數之間的關系整理成以下六條“辨析點”：

辨析1：a的符號與拋物線的開口方向有關，a＞0，開口向上；a＜0，開口向下.

辨析2：ab的符號與對稱軸的位置有關，ab＞0，對稱軸在y軸左側；ab＜0，對稱軸在y軸右側.

辨析3：c的符號與拋物線和y軸交點的位置有關，c＞0，交點在y軸正半軸（或稱為在x軸上方）；c＜0，交點在y軸負半軸（或稱為在x軸下方）.

辨析4：b2-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；b2-4ac=0，拋物線與x軸有且只有1個交點；b2-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點.

辨析5：x的特殊值確定了特殊代數式的取值及符號.

例如，x=1時，y=a+b+c，a+b+c的值的符號由x=1時y的符號確定.

x=-1時，y=a-b+c，a-b+c的值的符號由x=-1時y的符號確定.

辨析6：只與a，b兩字母有關的代數式取值一般與對稱軸方程取值有關.

例4 （2018·湖北恩施）拋物線的對稱軸為直線，部分圖像如圖3所示，下列判斷中：

①abc＞0.

②b2-4ac＞0.

③9a-3b+c=0.

④若點（-0.5，y1），（-2，y2）均在拋物線上，則y1＞y2.

⑤5a-2b+c＜0.

其中正確的個數有（ ）個.

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】根據二次函數六條辨析點一一判斷即可.

解：根據辨析1，拋物線開口向上，所以a＞0.

根據辨析2，對稱軸為直線x=-1，在y軸左側，所以ab＞0.

根據辨析3，圖像與y軸交點在y軸負半軸上，所以c＜0.因此abc＜0，選項①錯誤.

根據辨析4，圖像與x軸有兩個交點，所以b2-4ac＞0，因此選項②正確.

根據對稱性，拋物線與x軸的另一個交點應為（-3，0），根據辨析5，將（-3，0）代入y=ax2+bx+c，可知9a-3b+c=0，因此選項③正確.

因為點（-0.5，y1），（-2，y2）均在拋物線上，對稱軸為直線x=-1，（-0.5，y1）與對稱軸的水平距離小于（-2，y2）與對稱軸的水平距離，所以（-0.5，y1）更靠近頂點，則y1＜y2，因此選項④錯誤.

根據辨析5，拋物線與x軸的一個交點為（1，0），則有a+b+c=0，根據辨析6，拋物線的對=-1，即b=2a.所以a+b+c=a+2a+c=0，可得c=-3a，即5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，因此選項⑤正確.

故選：B.

【點評】本題考查二次函數與系數的關系、二次函數圖像上的點的特征，解題的關鍵是靈活運用六條辨析點，屬于中考常考題型.

四、巧用平移變換簡化二次函數問題

例5 （2013·江蘇南京）已知二次函數y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m為常數，a≠0）.

（1）求證：不論a與m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點；（2）設該函數的圖像的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D.①當△ABC的面積等于1時，求a的值；②當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，求m的值.

【解析1】要找拋物線與x軸的交點情況，根據上述辨析4，要看b2-4ac的符號.

解：（1）將y=a（x-m）2-a（x-m）化為一般式y=ax2-（2ma+a）x+（am2+am），計算b2-4ac，得b2-4ac=（2ma+a）2-4a（am2+am）=a2，因為a≠0，所以a2＞0，即b2-4ac＞0，所以拋物線與x軸總有兩個公共點.

當y=0時，a（x-m）2-a（x-m）=0.

解得x1=m，x2=m+1.所以AB=1.

【點評】因為本題含有兩個參數a，m，計算量較大，容易出錯.

【解析2】先看參數m.參數m的意義是使函數圖像左右平移，通過平移y=a（x-m）2-a（x-m）的圖像，可以得到函數y=ax2-ax.由于左右平移不會改變圖像的形狀和大小，所以也就不會改變圖像與x軸的交點個數和交點間的距離.那么研究新函數y=ax2-ax與x軸交點問題就能解決題目設置的關于原始函數的有關問題.

再看參數a.a的意義就是把圖像縱向拉長或者縮短，橫向不變，它也不會改變圖像與x軸的交點個數和交點間的距離.不妨設a=1.這樣y=a（x-m）2-a（x-m）就可以簡化為y=x2-x，再研究y=x2-x與x軸的交點個數即可.

解：二次函數y=x2-x，根據判別式b2-4ac得b2-4ac=1＞0，則拋物線與x軸總有兩個公共點，經過縱向的拉長或縮短及平移，可知y=a（x-m）2-a（x-m）的圖像與x軸總有兩個公共點.

【點評】在函數問題中，如果研究復雜函數圖像與x軸的交點情況，我們可以通過平移變換，使問題簡單化.