突破運(yùn)算瓶頸，落實(shí)核心素養(yǎng)*
——對(duì)一道解析幾何模考題解法探究的思考

江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué) (212200)

高忠冉

教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》對(duì)核心素養(yǎng)作了具體的闡述：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.“核心素養(yǎng)”是當(dāng)今教育界談?wù)摰臒狳c(diǎn)話題，如何在課堂教學(xué)中落實(shí)是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育工作者關(guān)注的焦點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)教師面臨的新課題和挑戰(zhàn).

數(shù)學(xué)運(yùn)算貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，是學(xué)生能否取得好成績的關(guān)鍵能力之一.解析幾何作為培養(yǎng)運(yùn)算能力的沃土，是落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的最佳載體.下面以一道模考題的解法探究為例，淺談在解析幾何教學(xué)中如何突破運(yùn)算瓶頸，落實(shí)核心素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)

第二問主要考查圓錐曲線中的定值問題，是近年高考的熱點(diǎn)題型，其求解思路非常明確，一是根據(jù)向量關(guān)系求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C代入橢圓方程求m的值；二是利用直線PB與橢圓相交求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)向量關(guān)系求m的值.

二、解法探究

解法1：直接選擇A,B的坐標(biāo)為參數(shù).

點(diǎn)評(píng)：將點(diǎn)C的坐標(biāo)用x1,y1,x2,y2來表示，形式非常對(duì)稱，再代入橢圓方程整體消參，達(dá)到了快速、簡捷的解題效果，一氣呵成，妙不可言！

解法2：三角代換，選擇角度作為參數(shù).

點(diǎn)評(píng):三角代換也是十分有效的方法.將A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)用角α,β來表示，代入橢圓方程后利用三角恒等式sin2α+cos2α=1便可輕松化簡，與解法1有異曲同工之妙.

解法3:選擇點(diǎn)A的坐標(biāo)為參數(shù).

將點(diǎn)C代入橢圓方程得

點(diǎn)評(píng):因直線OB經(jīng)過原點(diǎn)，故求交點(diǎn)B的坐標(biāo)比較容易.

將點(diǎn)C代入橢圓方程得

點(diǎn)評(píng):“斜率”作為直線與圓錐曲線相交問題中的重要參數(shù)備受學(xué)生的青睞，其優(yōu)勢是參數(shù)唯一，目標(biāo)明確.但從解題過程不難發(fā)現(xiàn)選擇“斜率”作為參數(shù)時(shí)難點(diǎn)也非常突出，一是求點(diǎn)C的坐標(biāo)運(yùn)算量較大，二是其坐標(biāo)復(fù)雜(含根式)，導(dǎo)致化簡極易出錯(cuò).由此可見，合理選擇參數(shù)對(duì)控制運(yùn)算量的大小有著至關(guān)重要的影響.

點(diǎn)評(píng):此法思路比較直接，但對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求非常高，突破運(yùn)算的關(guān)鍵是化簡“B”，只要攻下這一堡壘，下面便柳暗花明，迎刃而解了.

三、教學(xué)思考

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.基于本題的解法探究，對(duì)解析幾何的運(yùn)算教學(xué)，筆者有以下幾點(diǎn)思考.

1.理解思想方法產(chǎn)生的本質(zhì)，提高選擇能力

無論是“坐標(biāo)”還是“直線的斜率”，教師都應(yīng)當(dāng)將選擇的原因分析透徹，講清來龍去脈，唯有如此，學(xué)生才能知其然而更知其所以然，從而提高選擇能力，找到最佳方案，力促高效解題.

2.從理解算理的維度化簡運(yùn)算，提升運(yùn)算能力

《課標(biāo)》在解讀“運(yùn)算能力”時(shí)強(qiáng)調(diào)“應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生是否理解了運(yùn)算的道理，是否能準(zhǔn)確地得出運(yùn)算的結(jié)果，而不是單純地看運(yùn)算的速度”，可見算理才是運(yùn)算能力的核心.解法1中，根據(jù)向量關(guān)系，將點(diǎn)C用A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示后，顯然式子“x1x2+2y1y2=0”和“x2+2y2=2b2”是進(jìn)行化簡運(yùn)算的關(guān)鍵隱含條件，集中體現(xiàn)了“設(shè)而不求”這一解析幾何的基本思想.在解法5化簡系數(shù)“A”和“B”的過程中，“設(shè)而不求”體現(xiàn)得淋漓盡致，事實(shí)上，它也反過來指導(dǎo)系數(shù)“A”和“B”的變形與化簡方向，兩者可以說相輔相成，相得益彰.學(xué)生若沒有理解這一重要算理，很難想象能化簡“A”和“B”.

教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理進(jìn)行深入的研究，幫助和指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用已有的知識(shí)感悟其中的算理.學(xué)生只有對(duì)算理有了深刻的理解，才能快速找到運(yùn)算的方法進(jìn)行正確迅速地運(yùn)算，從而真正達(dá)到“想得多算得快、算得少”的境界.

3.從數(shù)學(xué)育人的維度塑造品格，落實(shí)核心素養(yǎng)

從應(yīng)試角度而言解法5是不可取的，但它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和塑造學(xué)生的思維品質(zhì)具有很高的價(jià)值.在高三復(fù)習(xí)階段，尤其一輪復(fù)習(xí)是提高學(xué)生運(yùn)算能力和培養(yǎng)自信心的最佳時(shí)機(jī).“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”.在遇到運(yùn)算量較大的解析幾何問題時(shí)切不可錯(cuò)失良機(jī)，教師應(yīng)當(dāng)勇于帶領(lǐng)學(xué)生突破運(yùn)算瓶頸，任性算到底，沒有“任性”何來“韌性”？解法5中的運(yùn)算過程完全可以用“驚心動(dòng)魄”來形容，當(dāng)學(xué)生通過自身的努力化簡方程①，最終解出點(diǎn)C的坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)“驚心動(dòng)魄”的過程對(duì)學(xué)生內(nèi)心的震撼是可想而知的，對(duì)磨練學(xué)生的毅力，塑造學(xué)生堅(jiān)忍不拔的品格，提升學(xué)生的自信，無疑有著不可估量的作用，是任何語言難以企及的.

教育的根本任務(wù)是育人.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“如果學(xué)生在學(xué)校里沒有機(jī)會(huì)嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數(shù)學(xué)教育就在最重要的地方失敗了.”數(shù)學(xué)為磨練學(xué)生的意志和提高耐挫力提供了絕好的平臺(tái)，意志品質(zhì)水平的高低與數(shù)學(xué)成績的優(yōu)劣有著極為密切的內(nèi)在聯(lián)系.高三同學(xué)要在體驗(yàn)挫折和失敗的過程中，形成百折不撓的良好心理素質(zhì)，以應(yīng)對(duì)高考這樣的重要考試，這既是高考的要求也是今后人生發(fā)展的需要，也只有這樣才能真正完成落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)和立德樹人的根本任務(wù).