推進“讓學引思”，構建“生長型”課堂
——“直線與圓的綜合應用”教學實錄

江蘇省鹽城市龍岡中學 (224011)

張曉芹 陳建權

目前,新課程背景下的數學教學改革已進入關鍵時刻，新一輪教學改革理念的落實，最終還要依賴每一位教師的學科教學.課堂既是學生的主戰地，亦是教師授課的主戰場.課堂教學中，教師希望學生能夠全面掌握課堂設計的教學內容、方法，并解決相關的問題，提升個人的數學素養和綜合能力.然而，目前填鴨式的講解不僅難以達到預期效果，且會打擊學生學習的興趣.在此背景下，我校積極倡導“讓學引思”理念，并以此構建“生長型”課堂：讓學生質疑解惑，引發其深度思考；讓學生合作探究，引領其優化學習方法；讓學生展示分享，引領其投入學習活動；讓學生科學訓練，引導其自測學習效果；讓學生歸納整理，引導其完善知識結構；讓學生遷移拓展，引導其學會解決問題；讓學生主動交流，引領其提高思維層次.基于此教學理念，筆者于2017年12月6日在高三年級一輪復習中開設了一節“直線與圓的綜合應用”的市級研討課，自覺將“讓學引思”的理念與教學實踐有機結合，讓學生成為課堂學習的主角，培養其思辨能力.本節課的教學實錄如下：

教學實錄

一、考綱解讀(幻燈片)

高考試題考查內容核心素養解題方法難度系數2013:第17題(14分)圓的切線及圓與圓的位置關系應用數學運算直接計算0.4952014:第9題(5分)求弦長數學運算直接計算0.822014:第18題(16分)直線與圓的位置關系的應用數學建模與數學運算數形結合0.352015:第10題(5分)直線與圓相切問題數學運算數學結合0.802016:第18題(16分)圓的方程,直線與圓相交問題數學運算數學結合0.462017:第13題(5分)圓的方程、圓與圓的位置關系數學運算數學結合中等

設計意圖：通過表格展示直線與圓的考試內容以及題型、題號，讓學生初步感受本節課的重要性，把握學習內容重點，激發學生學習熱情.

二、知識梳理(幻燈片)

設直線的一般方程：Ax+By+C=0；圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.

直線與圓的位置關系相交相切相離圖形公共點個數個個個幾何法:圓心到直線的距離d=|Aa+Bb+C|A2+B2研究d與r的關系drdrdr代數法:聯立方程Ax+By+C=0(x-a)2+(y-b)2=r2 研究方程組解的情況Δ0Δ0Δ0

設計意圖：這部分內容主要結合幻燈片，對照圖形，以填空的形式，由同學們集體回答.喚起學生對直線與圓的位置關系知識的回憶，強調判定直線與圓位置關系的兩種方法：幾何法與代數法，滲透數形結合思想.

三、基礎訓練

2.已知點M(3,1)及圓(x-1)2+(y-2)2=4，則過M點的圓的切線方程為.

3.在平面直角坐標系xOy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長為.

4.已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓C:x2+y2-6x+12y+20=0相交于A,B兩點，則當線段AB最短時直線l的方程為.

這幾道習題難度不大，由學生課前完成.批閱后，發現錯誤率較高的有2、4、5題.筆者讓學生先互相討論，糾正錯誤，再找做錯的同學剖析錯誤.

師：對比1，2題，大家對求圓的切線方程有怎樣的認識？

生1：在求切線方程時，要考慮切線的斜率是否存在，再根據圓心到直線的距離等于半徑求斜率.

師：很好.第1題圓的切線方程有一個，而第2題卻有兩個，為什么？

生1：第1題點在圓上，而第2題點在圓外.

師(贊許地點了點頭)：對.因此，在求圓的切線方程時，首先注意什么？

生1：先判斷點與圓的位置關系.

師：如果點在圓上，除了用圓心到直線的距離等于半徑的方法求圓的切線方程，還有其他辦法嗎？(學生1表現出茫然的神色)

師：請你想想，直線與圓相切有怎樣的幾何性質？

生1(思索了片刻)：過圓心、切點的連線與切線垂直.所以可以先求出圓心與切點連線的斜率，從而得到切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程.

師：非常好.(教者在黑板上板書求圓的切線方程的步驟，即先判斷點與圓的位置關系.若點在圓上，切線只有一條.若點在圓外，切線有兩條.設點斜式直線方程時要注意討論斜率是否存在.)

師：第3題，你是如何求弦長的？

師(環視了下同學們)：非常好，一定要求出交點坐標嗎？

|x1-x2|.

(教者將三種求圓的弦長的方法進行板書.)

師：在這三種方法中，大家要根據問題進行適當的選擇.下面我們來探討一下第4題用哪種方法好呢？

(學生4的方法是按照求弦長公式做的，思路清晰，但計算量較大.有些學生很佩服學生4，也有的學生認為這種方法太繁瑣了.)

生5(迫不及待的站起來)：老師，我有簡單的方法.

師：兩個學生的做法都很好，學生4的基礎知識掌握的非常扎實，計算能力也很強.學生5對圓的幾何性質挖掘的很到位.大家給兩位同學鼓掌！

師：作業的第5題錯誤率較高，下面我們請學生6給大家講解一下！(學生一邊敘述，我在黑板上一邊書寫，將整個解題過程清晰地呈現給大家.)

師：很好！這兩位同學再次從代數和幾何的角度分析了此題.通過這幾題的分析，相信大家對直線與圓的相切、相交問題有了更深刻的認識.

設計意圖：這是高三一輪復習課，學生對直線與圓的位置關系的相關內容有一定的認識，能夠解決基礎問題.但在解決具體問題時，卻存在不少缺陷.如第2題不考慮斜率不存在的情形，第4、5題運用代數法解題時計算出錯等.課堂上學生通過自查自糾，可提高自己的綜合分析能力.

四、典例研習

(這兩道題比較簡單，采用投影的方式進行點評.)

設計意圖：第(1)題鞏固求弦長的方法；第(2)題讓學生發現直線l與OP垂直，為變式做好鋪墊.

師：要想求出直線l的方程，還需要什么條件？

生(齊聲)：斜率或者另一個點的坐標.

師：非常好.下面就請同學們先獨立思考，再和小組成員交流，最好把關鍵步驟寫在紙上方便交流.

(七八分鐘后)師：哪位同學來和大家分享一下.

生8：(邊投影邊闡述)設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+1)+2.聯立圓的方程x2+y2=8，消去y得到關于x的一元二次方程(1+k2)x2+(2k2+4k)x+k2+4k-4=0.設點A(x1,y1),B(x2,y2),根據韋達定理，得x1+x2=

師：非常棒！這位同學思維敏捷，計算能力也很強，能在這么短的時間得到x1,x2的關系.有無漏洞？

生8：(有點羞澀)忘記討論斜率不存在的情況了.

師：下次注意??！還有其它方法嗎？

(同學們互相看了看，交流了一會兒)

師：這一思路也很清晰.設點和設斜率的方法都是常用的方法，不僅用于直線與圓相交的問題，在直線與橢圓等二次曲線相交的問題中都經常會用到，希望大家掌握.還有其他方法嗎？

師：太棒了！大家對比三種做法，覺得哪種計算量小些呢？

生：第三種！(學生們齊呼，表示驚訝.)

師：如果點P是圓外一點呢？以上三種方法還適用嗎?

生(齊答)：適用.

師：還有沒有其他方法呢？若點P在圓內，線段APB是圓的一條弦.若點P在圓外，線段PAB是圓的一條…(故作停頓，給學生思考的時間)

生：割線.

師：對的.初中我們學過關于割線的什么性質？該性質能否幫助我們解題呢？大家考慮一下！

(學生經過提示，開始了熱烈的小組討論，四五分鐘后基本上就安靜下來了)

圖1

師：解釋的太棒了，鼓掌送給他！通過上述問題，我們發現恰當地運用圓的幾何性質可簡化計算.在求弦長問題中，我們根據垂徑定理，構建了直角三角形.兩個變式中，我們仍可以構建直角三角形，將問題轉化為圓心到直線的距離問題.希望大家遇到直線與圓相交的問題時，能多運用圓的幾何性質幫助解題.

設計意圖：該例題重在研究直線與圓相交問題，通過兩個變式、三種方法提高學生的思維水平.三種方法的對比，讓學生感受運用圓的幾何性質的優勢，數形結合、轉化化歸思想得以滲透.

師：剛才我們研究了直線與圓相交的問題,下面我們再來看一道直線與圓相切的問題.

圖2

例2 已知圓M:(x-1)2+(y-1)2=4，直線l：x+y-6=0,A為直線l上一點．

(1)若AM⊥l，過A作圓M的兩條切線，切點分別為P、Q,求∠PAQ的大??；

(2)若圓M上存在兩點B、C,使得∠BAC=60°，求點A橫坐標的取值范圍．

第(1)問較簡單，采用投影的方式進行點評.第(2)問由于A、B、C三點都是動點，難度較大，只有個別學生能夠做對.因此，筆者借助幾何畫板進行說明.

當點A固定,B、C在圓上運動時，當且僅當直線AB、AC與圓相切時，∠BAC最大，見(圖2).若圓上存在B、C點使∠BAC=60°，則需兩切線的夾角大于等于60°.此時，問題已經轉化為直線與圓相切問題.

師：直線與圓相切，同學們有怎樣的思考？

生(齊答)：連結AM、MC、MB構建直角三角形.

師：很好，大家試著寫一寫.(教者巡查，并投影點評了一位學生的解答過程).

師：非常好.同學們不僅要理解題意，還要規范答題.此外，大家再回頭看一下我們的解題思路.同時考慮A、B、C三個動點難度較大，我們將問題進行了分解.先把A點固定，只考慮B、C兩個動點.此外，大家必須理解“存在”的意思，進而將問題轉化為直線AB、AC與圓相切.因此，大家今后遇到較難的題目時，一定要學會將問題分解轉化.下面再來看個變式.

圖3

變式在圖3中，過點A作圓M的兩條切線，切點分別為N、T．

①求四邊形ATMN的面積的最小值；

②求四邊形ATMN的周長的最小值．

師：大家和我一起來書寫，好嗎？

師：在第(2)題直線與圓相切問題中，我們再次構建了直角三角形.可見直角三角形在解決直線與圓的位置關系問題中很重要，希望大家引起重視.

設計意圖：該例題重在研究直線與圓相切問題.“三個動點”、“存在”把學生帶入了困境.但是通過對問題的分解、轉化逐步使問題變得簡單明朗.讓學生再次感受數形結合、轉化化歸思想的重要性.

五、隨堂鞏固

2.已知圓O:x2+y2=1,圓M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圓M上存在點P,過點P作圓O的兩條切線,切點為A,B,使得∠APB=60°,則實數a的取值范圍是.

(隨堂鞏固的兩道題，請兩位同學板演，并進行了點評.)

設計意圖：兩道題目與本節的兩道例題相似.第1題側重直線與圓相交、相切時求弦長、切線長的計算問題.第2題同例2，出現了“存在”二字，如何有效地將問題轉化則是考查重點.讓學生能夠學以致用，舉一反三是檢查課堂有效性的基本方法.學生板書不僅可以反映解題思路，還能達到規范答題的目的.

六、課堂總結

師：本堂課，大家有哪些收獲呢？

(師生簡短的梳理、討論后，總結如下)：

(1)求弦長公式的解法；

(2)求圓的切線方程；

(3)在直線與圓相交或相切問題中，常常構建直角三角形簡化問題；

(4)數形結合思想、轉化化歸思想.

師：讓我們用數學家華羅庚的名言來結束本堂課.研究科學最寶貴的精神之一，是創造的精神，是獨立開辟荒原的精神.科學之所以得有今日，多半是得利于這樣的精神.在“山窮水盡疑無路”的時候，卓越的科學家往往是另辟蹊徑，創造出“柳暗花明又一村”的境界.

設計意圖：課堂教學不僅讓學生學習具體的知識，還要學習歸納解題的思想方法.

七、教學反思

本節課教者主要通過考綱解讀、知識梳理、基礎訓練、典例研習、隨堂鞏固、課堂總結六個環節，緊緊圍繞直線與圓的相交、相切問題展開.根據高三學生具備必有的基礎知識和一定的思考分析能力，筆者在教學中以知識為載體，創造性實施教學，重視學生的主體性，兼顧教師的主導作用，讓學生學會獨立思考，充分實現了“讓學引思”的理念.口述、討論、投影、板演、幾何畫板動畫展示，形式多樣.學生們通過對典型問題的挖掘探討、對比總結，不僅掌握了通過數形結合、轉化化歸等思想探求解決直線與圓問題的一般方法，還提升了數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學素養和思辨能力，教學效果良好.

(1)科學合理設計，凸顯教學本質

應試教育禁錮了傳統課堂教學的活力，出現了教師滿堂灌、學生參與少、課堂實踐弱、教師主導性有偏差等問題，使得學生喪失了學習熱情，缺乏創新的能力和勇氣，淪為了考試機器.

教學是一個不斷突破自我、不斷質疑和解決問題的過程.教學設計應能體現教學本質，適應學生的思維水平.因此本節課中，筆者不論在問題設置、互動環節、還是例題展示等方面，既考慮到學生的實際思維能力和解題能力，又富有一定挑戰性，教學過程因此變得流暢、生動、有趣，嚴謹又靈動，符合認知規律，達到了預期教學目的.

(2)以學生為主體，培養其思辨能力

思辨能力是現代課堂教學中的核心理念，而學生則是這一認知活動的主體.現有的課堂教學應當建立在學生合理的知識水平和思辨能力之上.這就要求教師了解學生已有的認知水平，及時對教學手段和教學策略進行科學化調整.在本課堂教學中，筆者通過設置考綱解讀、知識梳理、基礎訓練、典型研習、隨堂鞏固等環節，明確闡釋出本節課的教學重點，環環相扣、由淺入深，通過仔細觀察和科學引導，實現了科學推理和演繹.筆者并非將知識點簡單概念化，而是通過合理的問答設計，幫助學生將生澀的抽象概念變為切實的“直觀感悟”，實現了理論的科學化論證，進一步加強學生思維能力的培養，全面提高其數學素養和學習創新能力.