對2018全國卷幾道高考導數試題的另解及思考

四川省南充高級中學 (637000)

張小丹

一 試題及解析

例1 (2018全國卷Ⅲ理科數學21題)已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，證明：當-10時，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點，求a.

1.對比答案

官方參考答案

解：(ⅰ)若a≥0，由(1)知，當x>0時，f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0)，這與x=0是f(x)的極大值點矛盾；

③如果6a+1=0，h′(x)=

端點分析法答案

解：f(0)=0，∵x=0是f(x)的極大值點，∴在x=0的附近(除x=0)有f(x)<0(*)

∵函數f″(x)在(0，+∝)上連續，∴?x0>0,使得當00，∴f″(x)在(0,x0)上單增，∴當x∈(0,x0)時，f″(x)>f(0)=0，∴f′(x)在(0,x0)上單增，∴當x∈(0,x0)時，f′(x)>f′(0)=0，∴f(x)在(0,x0)上單增，∴當x∈(0,x0)時，f(x)>f(0)=0，這與(*)式矛盾；

又f′(0)=0，∴當-10，當x>0時，f′(x)<0，∴f(x)在(-1,0)上單增，在(0,+∝)上單減，∴x=0是f(x)的極大值點.

2.反思感悟

對于參考答案，個人認為“構造函數h(x)，并分析它與f(x)的關系”是一個難點，該難點恐怕很多學生，甚至老師都不易想到.所以，就解題思路而言，參考答案確實需要較強數學直覺以及解題功底.

對于端點分析法，想到它的突破口是題目的設問方式(可轉化為一個恒成立問題)及隱含條件f(0)=0，這是導數中運用“端點分析法”(解決一類恒成立問題的方法)的必要條件.若注意到此，那么接下來就是運用“端點分析法”求解了.

個人認為“端點分析法”目標明確，思路流暢，與參考答案相比，有其獨到的優勢.

實際上，在今年的高考試題中，還有兩道導數試題也可用此法.

例2 (2018全國卷Ⅰ文科數學21題)已知函數f(x)=aex-lnx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區間；

官方參考答案

端點分析法答案

又g′(1)=0，∴當01時，g′(x)>0.

∴g(x)在(0,1)上單減，在(1,+∝)上單增.∴g(x)≥g(1)=0.于是f(x)≥g(x)≥0.從而原命題得證.

(1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程；

(2)證明：當a≥1時，f(x)+e≥0.

官方參考答案

解(2):由題意,原不等式等價于ex+1+ax2+x-1≥0恒成立.

令g(x)=ex+1+ax2+x-1，∴g′(x)=ex+1+2ax+1，g″(x)=ex+1+2a，∵a≥1，∴g″(x)>0恒成立，∴g′(x)在(-∝,+∝)上遞增，∴g′(x)在(-∝,+∝)上存在唯一x0使g′(x0)=0，∴ex0+1+2ax0+1=0，即ex0+1=-2ax0-1，且g(x)在(-∝,x0)上單減，在(x0,+∝)上遞增，∴g(x)≥g(x0).

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綜上所述，當a≥1時，f(x)+e≥0.

端點分析法答案

解(2)：不等式f(x)+e≥0等價于ax2+x-1+ex+1≥0，設g(x)=ax2+x-1+ex+1，當a≥1時，g(x)=ax2+x-1+ex+1≥x2+x-1+ex+1，設h(x)=x2+x-1+ex+1，∴h′(x)=2x+1+ex+1，易知h′(x)在(-∝,+∝)上遞增，又h′(-1)=0，∴當x<-1時，h′(x)<0，h(x)遞減，當x>-1時，h′(x)>0，h(x)遞增.

∴h(x)≥h(-1)=0，于是g(x)=ax2+x-1+ex+1≥x2+x-1+ex+1得證，從而原不等式得證.

二、方法總結

端點分析法是解決導數中一類恒成立問題的常用方法.此類問題特征較為明顯，一般是具有“對任意x>a(x≥a)，不等式f(x)>0(f(x)≥0)恒成立”(**)這樣的形式或者可以化為這樣的形式，且滿足f(a)=0(f′(a)=0或f″(a)=0)，即代入區間端點，剛好可使不等式取等號.

具體解題思路如下：

③證明當f′(a)<0時不滿足題設(必要性)；

④證明當f′(a)≥0時滿足題設(充分性).

說明：(1)若f′(a)=0，則證明f″(a)<0(f″(a)≥0)不滿足(滿足)題設；

(2)并非所有滿足條件(**)的題目均可用端點分析法，即有時必要性滿足，但充分性不滿足.具體問題需要具體分析.

三、其他試題

在近幾年的高考試題中，類似試題并不少見.

題1 (2017全國卷Ⅱ文科數學21題)設函數f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

題2 (2016全國卷Ⅱ文科數學20題)已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當a=4時，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(2)若當x∈(1,+∝)時，f(x)>0，求a的取值范圍.

題3 (2016四川卷理科數學21)設函數f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.

(1)討論f(x)的單調性；

(1)討論f(x)的單調性；

(2)證明：當x>1時，g(x)>0；

(3)確定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在區間(1,+∝)內恒成立.