三大數學思想妙解三角題

福建省莆田第二中學 (351131)

蔡海濤

我們知道，三角函數是高中數學的重要模塊，也是每年高考必考的問題.教學中我們發現，有些學生解決不了一些并不復雜甚至是簡單的三角問題，認真分析其原因，基本上是因為這些學生無法在思想的高度上來引領方法，或是因為思想方法不明確而導致不懂得如何來解題.所以，筆者從思想方法的角度來談談三角解題的些許感悟，與各位同仁分享，不當之處請多指正.

一、函數與方程思想

ωx+φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx+φ)05-50

(Ⅰ)請將上表數據補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數f(x)的解析式；

分析：第(Ⅰ)步中補充數據的難點在第一行數據的填寫，很多學生的思路是從用“五點法”畫函數圖像這個角度來考慮，先利用周期性求ω的值，再確定φ的值.其實本題也可以利用函數與方程的思想，利用已知條件求解含ω和φ的方程組來處理.

評析：方程思想是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程，然后通過研究方程使問題獲解，第(Ⅰ)步的關鍵是確定ω和φ的值，可以利用方程的思想來處理.

例2 已知函數y=sinx+2cosx在x=θ取得最大值，則tanθ=.

評析：三角函數是初等函數的一種，因此它具有函數的一般性質和解題規律，對于函數單調性問題的處理，導數是個有力的工具.

二、整體思想

在講解例3后，教師提出如下問題：

評析：為了更好地運用整體思想，換元是條不錯的途徑，可以把已知角“強行”化為單角，更清楚地發現待求角與已知角的關系.在給值求值,通過尋找待求角與已知角關系的問題均可用這種方法進行求解.整體思想在三角函數中的應用是十分廣泛的，研究形如函數y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質時，亦可用整體思想，把ωx+φ看做一個整體來進行處理.

三、化歸與轉化思想

評析：方法1轉化的思路是從“角”入手，把復角2α、2β轉化為單角α、β，然后再進行化簡；方法2轉化的思路是從“名”入手，第一步把cosα化為sinα，從而使得前兩項含角α的三角函數同名，達到化簡的目的；方法3轉化的思路是從“冪”入手，化二次為一次，從而得到化簡；方法4轉化的思路是從“形”入手，先對二次項進行配方，使得結構形式比較簡潔，得到化簡的入手途徑.

由于三角公式多，方法靈活多變，很多學生對一些三角恒等變換問題往往不知從何入手.化歸與轉化的思想是在研究和解決數學問題時借助數學知識和數學方法，將問題進行轉化，使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，未知問題已知化，進而達到解決數學問題的目的.所以，讓學生掌握化歸與轉化思想，遵循一些規則，就不難解決問題了.事實上，從“角”、“名”、“冪”、“形”四種方向入手就是對三角恒等變換，化簡求值常用的轉化手段.