問題 猜測 論證 應用
——由兩道不等式例題引發的探究性學習

福建省莆田第五中學 (351100)

王 忻

《普通高中數學課程標準(實驗)》指出：數學探究即數學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程.這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明，并應用所得結論解決有關問題.

本文從兩道教材例題出發，引導學生進行探究性學習，讓學生經歷這種在教師引導下的“問題、猜測、論證、應用”探究性課題學習過程.

一、問題呈現

題1 (人教A版選修4—5《不等式選講》第21頁例1)已知a,b都是正數，且a≠b，求證a3+b3>a2b+ab2.

題2 (湘教版選修4—5《不等式選講》第8頁例2)已知a,b∈R,求證a4+b4≥a3b+ab3.

二、猜測、論證問題的推廣

上述命題及推論中的不等式僅為二元不等式，能否推廣到多元？

由命題1、2及其推論能否猜測更一般的結論？

(如果條件許可，可引導學生仿照上述證明方法加以論證，證明過程略)

三、探究結論的應用

以上命題及其推論具有廣泛的應用，可引導學生用之解決一類有關的數學問題.，使一類頗具難度的數學問題化難為易、化繁為簡，輕松獲解.如在命題2中取h=2,k=3立得日本津田塾大自主招生教材試題：已知a,b,c均為正數，則(a2+b2+c2)(a3+b3+c3)≤3(a5+b5+c5)；在命題3的推論中取h=n,k=1立得美國大眾數學雜志1991(4)征解題：

例1 (《數學通報》2012年第8期數學問題2078)已知正實數x,y滿足x7+y7=x3+y3,求證x4+y4≤2.

類似地，容易解決(《數學教學》數學問題443)設a,b是正數，且a1996+b1996=a1994+b1994,求證a2+b2≤2.

例7 (2005年格魯吉亞集訓隊試題)已知a,b,c>0，且abc=1，求證a3+b3+c3≥ab+bc+ca.

類似地，容易解決(《數學通報》數學問題1128：設a,b,c都是正實數，證明：

例8 (2013年全國高中數學聯賽浙江省預賽試題)設a,b,c∈R，且ab+bc+ca≥3，證明a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)≥9.

以上引導學生通過對兩道教材例題的觀察、分析，猜測適當的數學結論，給出證明，揭示了問題的本質和規律，并使一系列有關問題得到了簡捷解決.這有助于學生初步了解數學結論產生的過程，體驗創造的激情，有助于培養學生發現、提出、解決問題的能力，有助于發展學生的創新意識和創造能力.