不是“押寶”，而是“構造”*
——淺析2018全國Ⅰ(文)第17題的考生應答及教學思考

江西省九江市第七中學 (332000)

張明星

今年6月，筆者參加了2018年普通高等學校招生全國統一考試的監考工作，隨后作為閱卷教師，又參加了文科數學全國Ⅰ卷第17題的改卷工作.回顧考場上考生的表現與試卷上考生的作答，現談幾點針對本題考生暴露出的問題及教學應對策略.

(1)求b1，b2，b3;

(2)判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

(3)求{an}的通項公式.

這一問主要考查數列遞推公式的應用，邏輯上由a1?a2?a3，再由a1?b1，由a2?b2，由a3?b3.從考卷上考生的答題過程可以看到，本題的答題區域內，第(1)問實際空白的，寥寥無幾，說明考生大多都掌握了“由數列的遞推公式結合首項，依次遞推出后一項”的方法，而數列{bn}與{an}的關系又比較明顯，易得第(1)問答案.這一問主要的作答錯誤在于少數考生計算出錯；也有極少數考生不能理解“nan+1=2(n+1)an”這個遞推公式的意義，從而無從動筆.

針對第(1)問考生的作答表現，我認為在解答題第一道題，設計難度系數較低的第(1)問，有利于考生靜下心來開始解答題的作答，這一問的設計，使得整道題呈現出合理的難度梯度，考查了數列的遞推公式，結合后面兩問，使得考查數列的知識點覆蓋面更廣；從考生丟分的情況分析，在平時的教學中，“逐個將n賦值代入到遞推公式中，從而求得數列中的前幾項”，是“求數列中的指定項，特別是數列前幾項值”的重要方法，能夠培養學生的“邏輯推理”、“運算能力”的核心素養，我們在教學時，不能因為“簡單”而忽視，尤其要讓學生體會“數列遞推公式的涵義與作用”.

值得注意的是，第(2)問有考生在判斷{bn}是否為等比數列之前，還作了{an}是否為特殊數列的判斷；“由第(1)問中求出的a1=1，a2=4，a3=12，得出{an}為等差或等比這樣的謬誤”，想由{an}的“特殊性”得出{an}乃至{bn}的通項；也有考生寫到“由b1=1，b2=2，b3=4，就匆忙下結論說“{bn}為等比數列甚至有說是等差數列”.這兩類錯誤不是個例，必須引起我們警覺：有些同學在學習完《數列》章節之后，形成了“一個數列不是等差數列，就是等比數列”的思維定勢，因此當他們在做本道題時，就像在“等差”與“等比”之間“押寶”，哪怕得到的結論牽強甚至是錯誤，也無力糾正.因此如何在平時的《數列》教學中讓學生形成“辨證思維”的數學思想，而不是簡單的“非此即彼”的狹隘思維模式，任重道遠.但至少我們可以跟學生說清楚：并不是所有的數列都那么地“有規律”，例如：將周一集會升旗時，隊伍中某一列學生的視力值排成一列，構成一個數列，該數列很可能既不等差，也不等比，“有規律”的數列是我們研究的一個重點，但不是我們研究的全部.

縱觀本題的三個問題，顯然第二問“判斷數列{bn}是否為等比數列”，進而“根據等比數列的通項公式求出{bn}的通項”，是本道解答題的難點，平時我們講到的可以構造出等比數列的情境有很多，重點是讓學生明白構造的“新數列是否符合等比數列的定義(即從第二項起，后一項與前一項的比是否為一個與n無關的常數，或者用‘等比中項法’)”，大致按“觀察、變形、下結論”這樣的三部曲.

本道題數列{an}“不特殊”——既不是等差數列，也不是等比數列，但與{an}相關的另一個數列{bn}“特殊”(等比)，借助于這樣一個“特殊”數列{bn}的通項公式，來求得這樣一個“非特殊”數列{an}的通項，這就是第(3)問的解題思想.可以說“思想支配著我們的行動”，前面的“變形、構造等比數列”的方法、技巧，是在數學思想的支配下“動起來”的；只不過，在本題的“三問”設計之下，這種間接求得“非特殊”數列的難度降低了.