探析含參函數零點兩側附近函數值符號的解題策略

福建省泉州市第七中學 (362000)

郭富梅 林志斌

近幾年來，全國高考卷的壓軸題常常是函數零點問題，由函數零點定理知，要判斷函數零點的存在，需要尋找兩個端點并判斷這兩端點的函數值異號，當碰到含參函數零點不可求，且無法直接判斷零點兩側附近的函數值符號時，學生只能走江湖，大約通過圖像猜想零點個數，解答過程不夠嚴謹，很多高考題的解答過程也是猶如天降，直接給出答案，并沒有給出常規的解法，學生老師很多時候也摸不著頭腦，下面結合這幾年的教學經驗，結合實例，初步探析解決含參函數零點兩側附近符號的幾種解題策略，供大家參考．

1.賦值法

對于函數的特征比較明顯，通過觀察，在所要判斷的區間內具體賦值，并判斷函數值的符號．

2.重新合并同類項法

對于有些函數不易觀察出函數零點兩側附近的函數值符號，可通過對函數重新分解、重新合并同類項，尋找函數大于零或小于零的充分條件．

例3 (2016全國卷改編)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,其中a>0，求證；f(x)有兩個零點．

3.執果索因法

根據函數的具體特征，尋找滿足函數大于零或小于零的充分條件.

下面探析在(0，a)存在一點x0使f(x0)<0．

4.放縮法

對于有些函數不易觀察出函數零點兩側附近的函數值符號，可通過適當縮小范圍，適當放縮，以達到能解出或找出函數大于零或小于零的充分條件．

例3中的探析在(-∞，1)存在一點x0使f(x0)>0，也可以采用適當放縮法，以達到能找出函數小于零的點或范圍．

在對于含有指數函數與對數函數的函數式，經常利用常見不等式進行放縮，達到能夠找出函數大于零或小于零的充分條件．

常見的幾個放大的不等式：

常見的幾個縮小的不等式：

上述不等式還可根據題目的需要對參數a與n取不同值，避免放縮過大或過小．

例5 (2017全國卷改編)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.a∈(0,1)，求證：f(x)有兩個零點.

解：f(x)的定義域為(-∞,+∞)，f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1)，其中a∈(0,1)，由f′(x)<0解得x∈(-∞,-lna)；f′(x)>0解得x∈(-lna,+∞)，所以f(x)在

例6 (2014福建高考卷改編)求證：對任意給定的0