利用AM-GM不等式巧解2018課標Ⅰ卷理第16及20題

福建省南平市高級中學 (353000)

江智如 李壽濱

隨著2018年高考的結束，全國數學課標Ⅰ卷也掀開了神秘的面紗．縱觀課標Ⅰ文理全卷，試卷嚴格遵循考試大綱的要求，符合新課標的課程理念，有效地將數學文化與數學應用高度融合，充分考查考生的數學核心素養．試題結構穩中有變，難易適度，有較好的區分度，不僅有利于高校的人才選拔，又有利于高中數學教學與素質教育的順利開展，有效促進高中數學新課程改革的不斷深化和推進．其中課標Ⅰ卷理科第16與20題是三角與概率背景下的最值問題，讓人眼前一亮，切入點多，可利用多種方法進行求解，本文探討利用AM-GM不等式進行求解．

1.AM-GM不等式

在人教A版的必修五中介紹二元的AM-GM不等式，然后在選修4-5中進一步推廣到n元形式的AM-GM不等式，即：

對于n個正數ak,k∈*且k≤n，則有當且僅當a1=a2=…=an時，等號成立．記憶口訣為：“一正，二定，三等號”．

2.試題呈現

題1 (2018年課標卷Ⅰ理16)已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是．

評析：試題以考生熟悉的三角函數入手，呈現方式也是考生所熟悉．考生比較容易考慮利用導數進行求解，但計算過程較復雜，需要考生具有扎實的基礎知識與運算能力．而根據AM-GM不等式的特點，把f(x)進行適當的變換，可快速解答，體現區分度，考查考生分析問題和解決問題的基本能力，體現中學數學素質教育的本質，促進數學素養的提高．

題2 (2018年課標卷Ⅰ理20)某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件．每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢查．如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗．設每件產品為不合格品的概率都為p(0

(Ⅰ)記20件產品恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0；

(Ⅱ)現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(Ⅰ)中確定的p0作為p的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格產品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．

(ⅰ)若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否對這箱余下的所有產品作檢驗？

(ⅱ)若繼續對余下的產品進行檢驗，則檢驗費用為2×200=400

評析：本試題考查二項分布的基礎知識、基本思想和方法．第(Ⅰ)問根據二項分布的定義,容易得到f(p)，考生可以利用導數求最值的方法進行求解，很好地考查考生的數據處理與分析、應用能力；此時若考慮從AM-GM不等式入手，可以減輕考生的計算負擔，提高作答的時效性與準確性，有助于考生在緊張的考試中正常發揮，并能提高考生邏輯推理與數學運算的數學素養．

3.解題感悟

AM-GM不等式是高中階段重要的不等式之一，在日常的學習過程中，可引導學生從不等式的“形”方面入手，也就是“一正，二定，三等號”，然后根據已知條件進行應用，解決問題．能有效地提高學生學習數學的興趣，實現課程標準的教學目的，促進學生數學素養的提高．