“奔馳定理”的多種證法及其應(yīng)用

江西師大數(shù)信學(xué)院 (330022)

裴珊珊 陳德富 李 霞

“奔馳定理”是平面向量在探究三角形面積規(guī)律中一個(gè)優(yōu)美的結(jié)論，因所述定理對(duì)應(yīng)的圖像與奔馳車的標(biāo)志相似而得名.本文給出了以下五種證法，并通過示例展示其在求解數(shù)學(xué)競賽題中的應(yīng)用.

圖1

下面從五個(gè)不同思路出發(fā)對(duì)定理的證明展開探索.

證法一：利用三角形面積與線段比例關(guān)系推導(dǎo).

如圖2，延長AP交BC于Q點(diǎn)(S=SA+SB+

圖2

證法二：利用正弦形式的三角形面積公式.

圖3

證法三：利用三角形重心的性質(zhì).

圖4

證法四：利用向量按垂直坐標(biāo)系分解的性質(zhì).

圖5

證法五：利用平面向量分解的基本定理.

圖6

利用奔馳定理可以容易解決如下問題：

解析：由題意可知SΔBPC∶SΔAPC∶SΔAPB=1∶ 2∶ 3,由合比性質(zhì)得SΔABC∶SΔAPC=(SΔBPC+SΔAPC+SΔAPB)∶SΔAPC=6∶ 2=3∶ 1，選(C).

(A)14∶ 3 (B)19∶ 4 (C)24∶ 5 (D)29∶ 6