含隱含條件的二次根式的化簡求值

學完第十六章《二次根式》后，在二次根式的化簡與求值中，常常遇到一些含隱含條件的題目，即：使二次根式有意義的條件下字母的取值范圍.這類隱含條件，往往使同學們感到解題困惑.若在解題之前首先考慮到這些隱含條件，把它作為題目中的已知條件，就會思路清晰，輕松解題，現舉例說明如下：

【例1】①若，求的值.②若，求的值.③若，求的值.

【解析】從求值的式子看，都要求出求值式子的平方的值后再求平方根.但從條件和結論結合起來分析又各不相同：（1）中是正數，而誰大誰小不確定，故其差可為正也可為負，因此有兩個值；（2）中由于均為正數，其和必為正數，所以，只有一個正值；（3）中因為，所以，故其差為負，所以其值負.

【答案】（1）；（2）；（3）.具體求解請同學們完成.

【例2】（1）化簡二次根式的結果是（ ）

A. B. C. D.

（2）把根號外的因式移到根號內，得（ ）

A. B. C. D.

【解析】課本中二次根式的性質有：，反過來為：，即把一個非負數可以平方后從根號外移到根號內，從而化簡的目的.因此我們必須保證移到根號內的數是非負數的平方.

（1）中∵，∴，確定了為負數就不能直接平方后移到根號內，為了解決好這個問題又保證恒等變形，我們在前面添了兩個負號，變為，這樣就是一個正數了，把它平方后移到根號內就可化簡了.

∵

故選B.另解：.②由同學們完成，答案：C.

【例3】①已知，求的值.②已知，求的值.③若，則化簡 .

【解析】（1）中，因，所以同號，又因，所以，

原式

（2）中，由已知可得：同號，因此，分同正和同負兩種情況求解：①若時，原式；若時，原式

（3）中，∵，∴；又∵，∴.因此，原式.注：（1）、（2）中的求值可以利用例1中的方法，先把求值的式子平方求其值，再根據字母的取值范圍求其平方根，達到求值的目的.

【例4】已知，若，求的取值范圍.

【解析】考慮的雙重非負性，由已知得：，又因解不等式組得：，∴的取值范圍是.

【例5】最簡二次根式是同類二次根式，求的值.

【分析】由同類二次根式的定義可得關于的方程，解方程求出的值.但注意隱含條件：①被開方數必是非負數；②還要是最簡二次根式.

【解】根據題意得：，解方程得：，當時，，適合題意；當時，不適合題意，舍去.故，的值是6.

由以上各題的解題過程中可以看出，在二次根式的化簡求值中，只要對題目中的隱含條件細心分析挖掘，充分注意到它們在題目中的作用，才能在解題時不出現各種錯誤！