兩種重要極限的計算分析

摘要：兩種重要極限作為微積分的重要內容，是微積分中極限求解的重要組成部分，該內容抽象，題目變化形式多樣，靈活度較高，在學習過程難度較大。在具體的題目求解過程中，應在掌握定義的基礎上，靈活分析問題，把握重點，熟練應用公式進行計算。

關鍵詞：函數；極限；分析

1第一個重要極限

定義1： 或 .

分析：當x→0時，sinx→0，兩者的比值的極限在x→0時為0，即為等價無窮小。

注：計算過程中sinx中變量的整體（x）→0，同時作為比值的另一部分與中sinx中變量的整體（x）完全相同。若不同，則公式不能直接應用。

（1）利用定義直接求解

利用定義1極限的定義，對相對簡單的題目進行直接計算。例如，

（2）先化簡后求解

利用三角函數進行轉化，使其出中sinx的相近形式，再套用公司進行極限計算。例如，

（3）三角函數公式

利用三角函數公式[2]，對式子進行分解變換。例如，

（4）未出現x的形式

首先根據sin函數的形式構造出變量。例如，

2 第二個重要極限

2.1 x→∞的情形[2]

定義2 .

（1）公式法的計算。

（2）次方為負數的計算。

例如，

（3）運算符為負數的計算[3]。

例如，

2.2 x→0的情形[3]

定義3

（1）公式法的計算。

（2）次方為負數的計算。

例如，

（3）運算符為負數的計算[3]。

例如，

2.3 其它變換函數的情形

（1）復合三角函數

例如， .利用換元法，設t=tanx，當x→0時，t→0。所以，

（2）多項式形式

例如， .分子分母同除以xx，

或者采用如下變化，

（3）與洛必達法則結合

第一個重要極限，可理解為兩個無窮小量的比較，這樣采用洛必達法則也可以進行相應的計算。

例如，

例如，

3總結

兩個重要極限的求解是一元函數極限的常見題目解，在具體題目的計算上，根據不同的題目應判別形式后再近些計算，做到、應具體問題具體分析，保證就是過程盡量簡單準確。

參考文獻：

[1]葉永春等.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]熊慶如.高等數學[M].西安：西安交通出版社，2015.

作者簡介：張延利（1980.9-），男，山東萊蕪人，碩士，講師，從事高等數學教學。