關(guān)注模型教學(xué) 拓展解題方法

顧友梅

[摘? ?要]在中考試題中，挖掘古老數(shù)學(xué)問(wèn)題的價(jià)值，運(yùn)用古老問(wèn)題解決新問(wèn)題的情形頻頻出現(xiàn).如費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題、折弦定理、楊輝三角和胡不歸問(wèn)題等.這些問(wèn)題，如果學(xué)生平時(shí)沒(méi)有訓(xùn)練，在考試時(shí)就會(huì)有一定的難度.因而，在平時(shí)的教學(xué)中，教師必須對(duì)這些模型進(jìn)行歸納與總結(jié)，發(fā)現(xiàn)其中的解題規(guī)律，使學(xué)生加強(qiáng)模型識(shí)別，在一模多變的問(wèn)題中提高學(xué)生分析與解決問(wèn)題的能力.

[關(guān)鍵詞]模型;胡不歸問(wèn)題;解題方法

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）35-0004-02

“胡不歸問(wèn)題”來(lái)自一個(gè)古老的傳說(shuō).話說(shuō)一個(gè)在A地當(dāng)學(xué)徒的小伙子得知家鄉(xiāng)（B地）的父親病危的消息，便往家趕.根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”的線段性質(zhì)，他選擇了全是沙礫的直線路徑AB，當(dāng)小伙子回到家時(shí)，他父親剛剛?cè)ナ溃眯牡泥従咏o小伙子講，老人在臨終前口里不斷地說(shuō)著“胡不歸？胡不歸？……”鄰居問(wèn)小伙子：“你為什么不先走一段驛道呢？”如圖1所示，小伙子如果沿AP[→]PB的路徑行走，雖然路程長(zhǎng)了，但在驛道上行走速度比較快.那么小伙子把點(diǎn)P選在驛道的何處，才能節(jié)省時(shí)間呢？這就是著名的“胡不歸問(wèn)題”.

此問(wèn)題可以抽象出這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：設(shè)小伙子在驛道、沙礫中行走的速度分別為a、b（a>b），則他折線行走的總時(shí)間為[t=APa+BPb=1b（BP+baAP）] .由于兩個(gè)速度是定值，欲求t的最小值，就是求[BP+baAP]的最小值.這里需要將[baAP]替換為一條線段.如圖2，可以作射線AN，使[sin∠NAP=ba]，然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AN，所以PF=[baAP]，于是[t=1b（BP+PF）]，求[BP+PF]的最小值.根據(jù)“垂線段最短”可以過(guò)點(diǎn)B作AN的垂線段交AC于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′就是所求作的點(diǎn).

這里“胡不歸問(wèn)題”就是求“[PA+kPB（0

一、三角形中的“胡不歸問(wèn)題”

三角形中的“胡不歸問(wèn)題”是指一動(dòng)點(diǎn)在三角形中的一條折線上運(yùn)動(dòng)，且在第一條線段上運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，在另一條線段上運(yùn)動(dòng)速度不為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，求動(dòng)點(diǎn)的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間.方法就是將系數(shù)不為1的線段轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的線段，然后利用“垂線段最短”的性質(zhì)求解.

[例1]如圖3，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高AO，點(diǎn)D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD[→]DC運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止，動(dòng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)速度為3個(gè)單位每秒，動(dòng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)速度為1個(gè)單位每秒，則當(dāng)AD=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短.

解析：如圖4，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′.∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間[t=AD3+CD1=AD3+CD]，∵AB=AC，AO⊥BC，∴BO=OC=1，∵∠DAH=∠BAO，∠DHA=∠AOB=90°，∴△AHD∽△AOB，∴[ADAB=DHOB]，∴[DH=13AD]，∴[13AD+CD=CD+DH]，∴當(dāng)C，D，H共線且和CM重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，∵OA=[32-12=22]，

[12BC·AO=12AB·CM]，∴[CM=423]，∴[AM=AC2-CM2=73]，∵AD′=3MD′.設(shè)MD′=m，則AD′=3m，則有9m2-m2 [=499]，∴[m=7212]或[-7212]（舍棄），∴AD′[=724]，故答案為[724].

評(píng)注：要正確解答本題，不僅要利用“胡不歸問(wèn)題”的幾何模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而且要注意利用勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

二、四邊形中的“胡不歸問(wèn)題”

四邊形中的“胡不歸問(wèn)題”是指在四邊形中有一動(dòng)點(diǎn)，此動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上或到四邊形一個(gè)頂點(diǎn)的距離為定值，求它到另一頂點(diǎn)的距離與它到第三頂點(diǎn)距離的k倍的和的最小值.這里也可以通過(guò)構(gòu)造相似三角形將k倍的線段轉(zhuǎn)化一條線段，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”得到三點(diǎn)共線時(shí)有最值，從而求解.

[例2]如圖5，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB=3，求[13]AP+PC的最小值.

解析：如圖6，在AB上截取BF=1，連接PF，PC，∵AB=9，PB=3，BF=1，∴[PBAB=13=BFBP]，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴[FPAP=BPAB=13]，∴PF= [13]AP，∴[13]AP+PC=PF+PC，∴當(dāng)點(diǎn)F，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，[13] AP+PC的值最小，∴CF= [BF2+BC2] = [1+49]= [52]，∴[13]AP+PC的最小值為[52].

評(píng)注：本題中系數(shù)不為1的線段中的系數(shù)k決定了構(gòu)造相似三角形的相似比.若系數(shù)k是[14]，就構(gòu)造一個(gè)相似比為[14]的相似三角形;若系數(shù)k是[22]，可構(gòu)造等腰直角三角形;若系數(shù)k是[12]，就構(gòu)造一個(gè)含30°的直角三角形.

三、圓中的“胡不歸問(wèn)題”

圓中的“胡不歸問(wèn)題”是指動(dòng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，求動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到另一定點(diǎn)距離k倍的和的最小值.這里仍需構(gòu)造相似三角形，將k倍的距離轉(zhuǎn)化為一條線段，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”求得最值.

[例3]如圖7，扇形COD中，O為圓心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，點(diǎn)P是[CD]上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫(huà)出示意圖并寫(xiě)出求解過(guò)程.

解析：如圖8，延長(zhǎng)OC，使CF=4，連接BF，OP，PF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥OD于點(diǎn)M，∵OC=4，F(xiàn)C=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，∴[OAOP=12=OPOF]，且∠AOP=∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴[APPF=OAOP=12]，∴PF=2AP，∴2PA+PB=PF+PB，∴當(dāng)點(diǎn)F， P， B三點(diǎn)共線時(shí)，2AP+PB的值最小.∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，F(xiàn)M⊥OM，∴OM=4，F(xiàn)M=4[3]，∴MB=OM+OB=4+3=7.∴FB=[FM2+MB2]=[97].∴2PA+PB的最小值為[97] .

評(píng)注：本題與上例比較，相同點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，不同點(diǎn)是k倍的距離中的k，一個(gè)是分?jǐn)?shù)，一個(gè)整數(shù)，它們?cè)谧鬏o助線時(shí)分別采用了截取與延長(zhǎng)的方法.但都是在k倍距離的一側(cè)構(gòu)造相似三角形，這一點(diǎn)是相通的.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）