函數的奇偶性在高中數學解題中的運用

王月娉

[摘???要]奇偶性是函數的一個很重要的性質.在解數學題時，如果能夠準確運用函數的奇偶性，很多問題都能迎刃而解.研究利用函數奇偶性解決問題的方法，對提高學生解題能力有很大的幫助.

[關鍵詞]函數;奇偶性;運用

[中圖分類號]????G633.6????????[文獻標識碼]????A????????[文章編號]????1674-6058（2019）35-0019-02

奇偶性是函數的一個很重要的性質.利用函數的奇偶性解題的方法，課本沒有專門的介紹，學生學習起來有一定的難度.學生雖然掌握了判斷函數奇偶性的方法，但是利用函數的奇偶性解題時仍會出現錯誤.因此有必要進一步研究其性質的運用.

函數的奇偶性有很多重要的結論.比如：

（1）一個函數是奇函數或者偶函數，其定義域關于原點對稱;如果一個函數的定義域關于原點不對稱，那么它是非奇非偶函數.

（2）若奇函數[f（x）]在[x=0]處有定義，則必有[f（0）=0]?.

（3）若函數[f（x）]是奇函數，則[f（x）max+f（x）min=0]?.

（4）奇函數的圖像關于坐標原點對稱，偶函數的圖像關于[y]軸對稱.反之也成立.

（5）奇函數在關于坐標原點對稱的區間上的單調性相同;偶函數在關于坐標原點對稱的區間上的單調性相反.

下面通過具體實例來介紹函數的奇偶性在解題中的運用.

【類型一】正確把握定義

函數具有奇偶性，它的定義域一定關于原點對稱.所以在解題時一定要把握好這一知識點.

[例1]已知[f（x）=ax2+bx]是定義在[[a-1?，2a]]上的偶函數，那么[a+b=]（）.

A.?[-13] B.?[13] C.?[12] D.?[-12]

解：?依題意可知，區間[[a-1?，2a]]是關于原點對稱的，則[（a-1）+2a=0]，?所以[a=13]?.

又函數[f（x）]是偶函數，所以[f（-x）=f（x）]，即[ax2-bx=ax2+bx]對定義區間上的任意[x]恒成立，所以[b=0]，所以[a+b=13]?.

【類型二】求函數解析式

求函數的解析式的方法很多，如果涉及奇偶性，我們一定要抓住“對稱”這一特點.

[例2]已知函數[f（x）]是定義在[R]上的奇函數，且當[x>0]時，?[f（x）=x2-x]，則函數[f（x）]?的解析式是?????????????.

解：因為函數[f（x）]是定義在[R]上的奇函數，所以[f（0）=0].

當[x<0]時，[-x>0]，

所以[f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x].

又[f（-x）=-f（x）]，所以[f（x）=-f（-x）=-x2-x].

綜上可得??[f（x）=x2-x?，?x>00??，???????x=0-x2-x，x<0]??.

【類型三】函數求值

求函數值題型，方法眾多.如果題目給出函數的奇偶性，那么我們就要充分利用它的性質解題.這樣我們就可以避免復雜的運算，達到快速解題的目的.

[例3]已知函數[f（x）]是定義在[R]上的奇函數，當[x<0]時，[f（x）=2x3+x2]，則[f（2）=]?????????????????????.

解法一：由題設可知，對任意[x∈R]，有[f（-x）=]?[-f（x）]，即[f（x）=-f（-x）]，所以[f（2）=-f（-2）=12]?.

解法二：當[x>0]時，[-x<0]，則[f（-x）=2（-x）3+]???[（-x）2=-2x3+x2].

又[f（-x）=-f（x）]，所以?[f（x）=-f（-x）=2x3-x2]，

即當[x>0]時，?[f（x）=2x3-x2]，所以??[f（2）=12]?.

[例4]已知[y=f（x）]?是奇函數，當[x<0]時，[f（x）=x2+ax]，且[f（3）=6]，則[a]的值為（）.

A.?[5]B.?[1]C.?[-1]D.?[-3]

解法一：因為[y=f（x）]是奇函數，且[f（3）=6]，所以[f（-3）=-6]，則[9-3a=-6]，解得[a=5]，??選A?.

解法二：當[x>0]時，[-x<0]，則[f（-x）=x2-ax]?，又?[f（-x）=-f（x）]，

所以[f（x）=-f（-x）=-x2+ax]，

即當[x>0]時，?[f（x）=-x2+ax]，

由?[f（3）=6]得[-9+3a=6]，??解得[a=5]，??選A?.

【類型四】圖像的應用

函數的圖像能夠直觀地體現函數的性質.因此，解題時如果依據題設條件作出它的簡圖，借助圖像尋求解題思路，或者直接得到答案，能夠收到事半功倍的效果.

[例5]若定義在[R]上的奇函數[f（x）]在[（0?，?+∞）]上為增函數，且[f12=0].則滿足[f（x）>0]的[x]的集合為 ??????????????.

解：作出簡圖，如圖1所示依題意[f（0）=0]，?[f-12=0]，且

[f（x）]在[（-∞?，?0）]上也為增函數，

所以滿足[f（x）>0]的[x]的集合為

[x-1212]?.

著名數學家華羅庚先生說：“數學是一個原則，無數內容，一種方法，到處可用.”這就意味著教師在教學過程中，要引導學生深刻領會數學的內容、意義和方法，引導學生對于一個數學問題，要從多角度進行分析，認真探究，總結規律并靈活運用數學思想方法，準確運用數學結論，這樣才能提高他們的解題能力.

（責任編輯 黃桂堅）