《神奇的莫比烏斯帶》教學與反思

潘妮娜

《數學課程標準（2011 版）》中明確指出：“要使學生初步學會從數學的角度發現問題、提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。”落實這些目標需要多方面的努力，課堂教學當然是一個主要的陣地。北師大版教材設計了“數學好玩”這樣一個章節，它屬于數學綜合實踐的課程體系，以數學探究和數學實際應用為主。它創設了一種“好玩”的氛圍，引導學生在有趣的實踐過程中，積極參與，學會思考，以數學思維解決實際問題，培養學生的創新能力和實踐能力，激發學生的學習興趣。在教學中，教師不再局限于知識的講解和習題的練習，更注重于怎樣調動學生的積極性，讓學生自主學習，培養學生的數學應用能力和創新意識。我嘗試教學了六年級下冊“數學好玩”中《神奇的莫比烏斯帶》一課，并進行了教學反思。

【教學過程】

鏡頭一：普通的它。

師：同學們看，這是一張普通的紙條，但它也蘊含著神奇的奧秘，今天我們就一起來玩轉這張紙條，看看它有多神奇。今天我們研究的問題很有趣，只要你開動腦筋，認真聽講、觀察，很快就會明白，所以今天需要同學們獨立思考、完成任務，當然有困惑的、需要幫助的也可以找我。

【策略分析：利用最普通的紙條，引起學生的興趣。同時，明確這節課的任務要求。】

師：觀察一下這張紙條。它是長方形的，它有幾條邊、幾個面？

生：四條邊，兩個面。

師：現在我要變一個魔術，讓它變成兩條邊、兩個面。（做一個普通紙環）看，這個紙環有兩條邊、兩個面，（邊說邊用手沿著邊和面摸一下）神不神奇？

師：這確實不神奇，現在，神奇的來了，我能把這張紙條變成一條邊、一個面，大家信不信？給你們點時間自己試試看。（學生獨立嘗試）

鏡頭二：神奇的它。

師：老師看到有些同學已經做出來了，現在請還沒有發現奧秘的同學和我一起來見證它的神奇之處。（做出一個莫比烏斯帶）看明白了嗎？

生：先一只手捏住紙條的一端，另一只手捏住紙條的另一端把它旋轉成180°，變成一個紙環。

師：總結得真好，現在請同學們拿出1 號紙條，做出這個神奇的紙環。大家相互幫助，已經做出來的同學可以在小組內說一說你是怎么做出來的。（學生制作莫比烏斯帶）

師：現在我們手上都有了這樣一個奇怪的紙環，它真的是只有一條邊、一個面嗎？怎么檢查？

生：沿著邊和面摸一下。

師：我們一起來動手試試看吧。我以交界處這個點為起點，沿著邊一直摸下去，什么情況？

生：回到了原點。是一條邊。

師：那是不是一個面？讓我們拿出一支筆，一起來畫一畫，首先，我在紙環上畫一個點作為起點，沿著中線一直畫下去。大家也動手試試看。（學生動手）

師：有什么發現？

生：回到了原點而且所有的面都畫到了。真的只有一個面！

師：神奇不神奇？其實，在我們做紙環的過程中，把它扭轉了180°，相當于把普通紙環的里面和外面連接到了一起，把上面的邊和下面的邊接到了一起。這個神奇的紙環，只有一條邊、一個面，我們把它稱之為“莫比烏斯帶”，也稱“莫比烏斯環”。（板書：莫比烏斯帶）在1858年，一次偶然的機會，德國數學家莫比烏斯發現了這樣一個奇妙的紙環。所以，人們就把這樣的紙環叫莫比烏斯帶。

師：（播放視頻）假如這個紙環內有一只螞蟻，螞蟻不爬過紙環邊沿就可以吃到面包屑。

【策略分析：制作莫比烏斯帶是后續活動的基礎。教師的演示很重要，學生的認識也很重要。在教師示范之后，讓學生總結制作方法，再次強化。利用摸一摸、畫一畫的方法，讓學生直觀感受“一條邊、一個面”的特點。課本導入情境變成鞏固視頻，再次強調“一條邊、一個面”。】

鏡頭三：剪二分之一線。

師：莫比烏斯帶的奧秘才剛剛開始，想不想繼續？我們一起來探索它的神奇之處。看，（展示一個帶有二分之一線的莫比烏斯帶）在這張紙環上，老師畫出了它的二分之一線，猜一猜，沿著二分之一線剪下去，需要剪幾刀？

生：一刀，因為剛剛我們用一筆涂過了莫比烏斯帶的所有面。

師：那再猜，剪完了，會是什么情況？

生：兩個莫比烏斯帶。

生：一個普通的紙環。

生：一個大的莫比烏斯帶。

師：（板書學生的猜想）這么多的猜想，誰才是對的呢？

生：剪一下。

師：沒錯，那我來動手實踐證明一下。（拿出剪刀）我沿著這條線一直剪下去，（剪剩最后一刀）答案馬上出來了，期待嗎？這神奇的一刀老師就不剪了，留給你們來證明。請拿出2 號紙條，先做一個莫比烏斯帶，然后剪剪看，看看誰的猜想正確。（學生動手操作）

師：都剪完了嗎？什么情況？生：是一個大圈。

師：這個大圈的長度是？

生：原來的兩倍。

師：這條線把紙條一分為二，但是剪出來卻是一個兩倍的長環，好神奇啊！那這個環還是莫比烏斯帶嗎？動手驗證一下。

生：（動筆畫線）有一面沒有畫到，不是莫比烏斯帶。

師：所以這是一個原來兩倍長的普通紙環。通過動手，驗證了我們的猜想。

師：我們繼續來探索它的神奇。（拿出一個有三等分線的莫比烏斯帶）看，我畫出了它的三等分線。繼續猜一猜，沿著線剪開，需要剪幾次？剪開了是什么情況？

生：兩次。

生：剪成一個大環。

生：剪成了一個大的莫比烏斯帶。

生：剪成三個環。

生：剪成三個莫比烏斯帶。

師：看來同學們都有自己的想法，誰對誰錯，請拿出3 號紙條，動手試試看吧。

生：只需要一刀。剪成兩個套在一起的環，其中小環是莫比烏斯帶，但是大環不是。

師：沿著莫比烏斯帶的三分之一線剪，只需要一刀就可以剪完，剪成了一個小的莫比烏斯帶套著一個普通的大環。這和你們之前想的一樣嗎？學習中我們可以大膽猜想，但是還需認真動手，細心驗證。

【策略分析：三分之一線相對于二分之一線更加復雜。學生的猜想五花八門。這個過程始終秉承“大膽猜想”的理念，讓學生發揮想象。】

鏡頭四：玩轉莫比烏斯帶。

師：其實莫比烏斯帶還有許多神奇的地方，它在生活中也有許多的應用。（播放課件：生活中的莫比烏斯帶）

師：今天老師和同學們一起玩轉了莫比烏斯帶。關于莫比烏斯帶，你有什么看法？

生：很神奇，生活中也很有用。

生：還能送我幾個莫比烏斯帶嗎？我還想剪。

師：看來大家都有點意猶未盡。關于莫比烏斯帶，你們還想怎么玩？

生：我想沿著四分之一線剪。生：我想沿著五分之一線剪。生：我想翻轉360°。

……

師：看來關于莫比烏斯帶，同學們還有許多自己的創意。這節課大家的表現都很棒，老師決定獎勵你們一人一張紙條，課后請你利用這張紙條繼續探索。關于莫比烏斯帶，我們還有許多問題有待解決，老師也還有很多的疑問，希望同學們能繼續猜想驗證，幫助老師更好地了解莫比烏斯帶。也希望同學們在今后的學習中可以發揮大膽猜想、仔細驗證的精神，也許某一天，你也能像莫比烏斯一樣，有著以你名字命名的偉大發現。

【策略分析：“你們還想怎么玩”，設置了一個頭腦風暴的環節，讓學生大膽發揮創意。獎勵小紙條，讓學生課后繼續探究，鼓勵學生大膽猜想，仔細驗證。】

【課后反思】

這是一節“數學好玩”課，好玩是前提，動手“玩”數學，讓學生在“玩”中學。這節活動課的設計主要以認識莫比烏斯帶、玩轉莫比烏斯帶兩個大環節為主，讓學生參與課堂，大膽猜想，仔細驗證，探索莫比烏斯帶的神奇之處，激發學生的學習熱情，讓學生體會猜想驗證的數學方法。

從實際課堂看來，在每個環節不斷的提問引導猜想，在學生的猜想中產生矛盾，激發出驗證的需要和熱情。這個過程中，避免了僅僅只是“做”的機械過程，這是一個動腦、動口、動手有機結合的過程，有助于學生創新能力和綜合素質的培養。

最后的總結更是一個頭腦風暴的過程，“你們還想怎么玩？”激發學生的創造潛能，發揮學生的想象力。課后獎勵學生紙條，完成驗證的過程，讓學習延續到課后。

縱觀這節課，動手的前提是有知識儲備。學生正確認識、理解莫比烏斯帶，能制作莫比烏斯帶保障了活動的順利進行。有效的動手要求學生有思考的過程，所以引導學生思考、猜想的環節顯得尤為重要。

“數學好玩”這類綜合實踐型課程在實際教學中容易受到教師的忽視，事實上這樣的課在培養學生數學核心素養上有著十分重要的作用，在教學中應重視這類課例，以此為基礎，培養學生的綜合實踐能力和創新能力。