靈活選擇轉軸解決大學物理中剛體的滾動問題

【摘 要】剛體的滾動可視為質心的平動和剛體繞通過質心的轉軸的轉動兩種運動的合成，也可以把滾動的瞬間看作剛體繞通過支點的軸的轉動。本文分別選取這兩種不同轉軸對剛體的滾動問題進行解答。

【關鍵詞】大學物理;剛體;平行軸定理

中圖分類號： G642;O313.3-4 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）35-0100-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.35.046

0 引言

物理學是研究物質的基本結構、基本運動形式、相互作用的自然科學[1]。以物理學基礎為內容的大學物理課程，是理工科專業學生必修的一門基礎課。大學物理中經常研究物體的運動規律，在解決同一問題時，由于解決途徑的不同、研究方法的不同或者參考系的選取不同等，往往有多種解法。這種一題多解的方法在鞏固和加深所學知識，培養學生發散思維能力與創新能力，培養學生學習興趣方面起著重要作用[2]。例如同一個物理問題，解題時通過慣性系與非慣性系的靈活選取，既能簡化問題，又能增進學生對知識的理解[3]。本文通過靈活選取不同的轉軸，巧妙解決了教材中有關剛體轉動的經典例題，有助于啟發學生對物理問題的深入思考。

1 剛體滾動問題的兩種方法

以教材中例題為例[4]，如圖1所示，斜面長l=1.5m，與水平面的夾角θ=5°。有兩個物體分別靜止地位于斜面的頂端，然后由頂端沿斜面向下滾動，一個物體是質量m1=0.65kg、半徑為的實心圓柱體，另一物體是質量為、半徑的薄壁圓柱筒。它們分別由斜面頂端滾到斜面底部各經歷多長時間？

圖1 物體受力分析圖

解法一：物體由斜面頂端滾下，可視為質心的平動和物體繞通過質心的轉軸所做的轉動兩種運動合成。由于圓柱體和圓筒的質量密度都是均勻的，因此他們的質心C都在軸線上。只因為兩者的形狀不同，故而他們的轉動慣量并不相等。如圖所示它們受到重力mg、支持力N、和摩擦力Ff的作用。由質心運動方程可得

mgsinθ-Ff=maC（1）

而以過質心C的軸為轉軸，可由轉動定律得

FfR=Jcα（2）

式中Jc和α分別為對通過質心C的轉軸的轉動慣量和角加速度。對剛體滾動來說。質心的加速度ac與圓柱體表面相對于轉軸的加速度a相等，再由角量和線量的關系可得

a=ac=Rα（3）

（1）（2）（3）式聯立可求得

a=■（4）

已知實心圓柱體相對于質心轉軸的轉動慣量Jc1=m1R2/2，圓柱筒的轉動慣量Jc2=m2R2。把它們代入（4）式可得實心圓柱體的加速度a1和空心圓柱筒的加速度分別為

a1=2gsinθ/3，a2=gsinθ/2（5）

由勻變速直線運動的公式，容易求得它們到達斜面底部所經歷的時間分別為

t1=■，t2=■（6）

由（5）式和（6）式，代入已知數據可求得：t1=2.3s，t2=2.6s。

解法二：物體滾下的任一瞬間，可以看做物體繞平行于質心轉軸且穿過物體與斜面接觸點的轉軸（以下稱轉軸P）的轉動。由于支持力N和摩擦力Ff均通過此轉軸，因此這兩個力的力矩為零。那么根據轉動定律有

mgRsinθ=Jpα（7）

式中Jp、α分別為物體相對于轉軸P的轉動慣量和角加速度。

由于物體質心在其幾何中心，則離轉軸P為R，所以質心的加速度

α=Rα（8）

（7）式和（8）式聯立可得

a=■（9）

根據剛體轉動慣量的平行軸定理，若已知過質心轉軸的轉動慣量為Jc，則過任何與質心軸線相平行的軸線的轉動慣量大小：J=Jc+md2，其中d為兩平行軸之間的距離[5]。可得Jp=Jc+mR2。已知實心圓柱體相對于質心轉軸的轉動慣量Jc1=m1R2/2，圓柱筒的轉動慣量Jc2=m2R2。因此有實心圓柱體相對于轉軸P的轉動慣量Jp1=3m1R2/2，圓柱筒的轉動慣量Jp2=2m2R2。把它們代入（9）式可得實心圓柱體的加速度a1和空心圓柱筒的加速度a2，結果同（5）式一致。

由（5）式和（6）式，代入已知數據可同樣可以求得：t1=2.3s，t2=2.6s。

2 總結

由于剛體的滾動既可以視為質心的平動和剛體繞通過質心的軸的轉動兩種運動的合成，又可以看作是剛體繞通過支點的軸的轉動。以一種看法是兩種運動的合成，因此解法一需要列出質心運動方程和轉動定律兩個基本方程，而解法二只需列出轉動定律的方程，使解題過程大大簡化。

【參考文獻】

[1]非物理類理工學科大學物理課程教學基本要求[J].物理與工程，2006，16（5）

[2]鄭艷彬.淺談一題多解在大學物理教學中的作用[J].科技創新導報，2012（17）：146.

[3]王永柱.力學問題的慣性系和非慣性系解法對比[J].高教學刊，2016（21）：138-139.

[4]馬文蔚.周雨青.物理學教程（第二版）上冊[M].北京：高等教育出版社，2006：98-99

[5]田碩.剛體轉動慣量的幾種計算方法[J].中國西部科技，2015，14（06）：82-84.