《二項(xiàng)式定理》易錯(cuò)題歸類剖析

■江蘇省宿豫中學(xué) 丁先寶

二項(xiàng)式定理是中學(xué)數(shù)學(xué)不可或缺的組成部分，它是初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法的延續(xù)，是排列組合的直接應(yīng)用，也與概率理論中的二項(xiàng)分布有著密切關(guān)系，是高考熱點(diǎn)隨機(jī)變量及其分布的基礎(chǔ)。掌握好二項(xiàng)式定理既可以為學(xué)習(xí)多項(xiàng)式的變形起到很好的作用，也可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)做好必要的知識(shí)儲(chǔ)備。二項(xiàng)式定理是高考的必考內(nèi)容，題型多為選擇題、填空題，偶爾出現(xiàn)在解答題中。一般考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)、展開式系數(shù)、某項(xiàng)或者項(xiàng)數(shù)等，甚至有時(shí)還會(huì)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)綜合考查。整體難度不大，屬于完全可以掌握的知識(shí)。如果有好的解題方法和意識(shí)，做到基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，重難點(diǎn)明確清晰，規(guī)避易錯(cuò)問題，就會(huì)收到事半功倍的效果!

易錯(cuò)題型1：混淆二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)

在二項(xiàng)展開式中，利用通項(xiàng)公式求展開式中具有某些特性的項(xiàng)是一類典型問題，須注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。二項(xiàng)式系數(shù)是二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)所含有的組合數(shù)，即，而項(xiàng)的系數(shù)是各項(xiàng)的字母變量的系數(shù)，這兩個(gè)概念是既有區(qū)別又有聯(lián)系的，如果在解題中不注意區(qū)分，就很容易出錯(cuò)。

例1的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則n 的取值所構(gòu)成的集合為____。

錯(cuò)解分析：由已知條件可得，化簡可得n2-5n+2=0，此方程無整數(shù)解，故沒有滿足條件的n 值。

上述解法顯然是審題不清，沒有弄清二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別。在解此類問題時(shí)，關(guān)鍵要抓住二項(xiàng)式(a+b)n的展開式的通項(xiàng)是指展開式的第r+1項(xiàng)，因此展開式中第1，2，3，…，n 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是

正解：由題設(shè)，得，即n2-9n+8=0，解得n=8，n=1(舍去)。故答案為{8}。

易錯(cuò)題型2：混淆二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)

例2已知的展開式中，第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比為10∶1，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

錯(cuò)解分析：由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為24，第三項(xiàng)的系數(shù)為則有

上述解法顯然是錯(cuò)誤地認(rèn)為展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)就是展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)，混淆了兩個(gè)概念。

正解：由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為第三項(xiàng)的系數(shù)為則有所以n=8。

設(shè)展開式中的第r 項(xiàng)，第r+1項(xiàng)，第r+2項(xiàng)的系數(shù)分別為2r+1，若第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則解得5≤r≤6，

易錯(cuò)題型3：二項(xiàng)式(a+b)n的展開式的通項(xiàng)中，因a 與b 的順序顛倒而出錯(cuò)

例3若的展開式中，第五項(xiàng)是常數(shù)，則中間項(xiàng)是第幾項(xiàng)?

錯(cuò)解分析：的展開式中的第五項(xiàng)是由第五項(xiàng)是常數(shù)，得解得所以題目無解。

上述解法顯然是顛倒了(a+b)n的展開式中a 與b 的順序，所以項(xiàng)也隨之發(fā)生變化，最終導(dǎo)致出錯(cuò)。

正解的展開式中的第五項(xiàng)是由第五項(xiàng)是常數(shù)，得即n=16，則展開式中的中間項(xiàng)是第9項(xiàng)。

易錯(cuò)題型4：利用賦值法求解時(shí)出錯(cuò)

二項(xiàng)式定理的一個(gè)典型應(yīng)用——賦值法，在使用賦值法時(shí)，令a，b 等于多少，應(yīng)就具體問題而定，有時(shí)取“1”，有時(shí)取“-1”，或其他值。

例4已知(1-2x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求a1+a2+…+a100的值。

錯(cuò)解分析：由二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)可知，(a+b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n。顯然，a0就是展開式中的=1，因此a1+a2+…+a100的值為2n-1。

上述解答顯然忽略了a0，a1，a2，…，a100是項(xiàng)的系數(shù)，而不是二項(xiàng)式系數(shù)，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤。

正解：由二項(xiàng)展開式的結(jié)構(gòu)特征可知a0，a1，a2，…，a100是項(xiàng)的系數(shù)，而不是二項(xiàng)式系數(shù)。觀察式子特征，如果x=1，則等式右邊為a0+a1+a2+…+a100，出現(xiàn)所求式子的形式，而a0就是展開式中的=1，因此(1-2×1)100=a0+a1+a2+…+a100，即1=1+a1+a2+…+a100，所以a1+a2+…+a100=0。

易錯(cuò)題型5：利用逆向思維解決二項(xiàng)式時(shí)出錯(cuò)

例5在多項(xiàng)式的展開式中，含x6的項(xiàng)的系數(shù)為____。

錯(cuò)解分析：原式=[1+(x-1)]n-1=xn-1，所以x6項(xiàng)的系數(shù)為0。

上述解法顯然忽視了n 的范圍，得出的結(jié)果是在n 不等于6 的前提下得到的，而這個(gè)條件并不是已知的。

正解：原式=[1+(x-1)]n-1=xn-1。

所以 當(dāng)n ≠6 時(shí)，x6項(xiàng)的系數(shù)為0；當(dāng)n=6時(shí)，x6項(xiàng)的系數(shù)為1。

二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)是很有樂趣的，學(xué)生不僅能從中感受到對(duì)初中知識(shí)的延伸和拓展，也能感受到類似“楊輝三角”的數(shù)學(xué)美。高考中，二項(xiàng)式定理的試題難度并不高，但是因?yàn)椤皶?huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”，而導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高受到限制，這也成為學(xué)生和老師揮之不去的痛，所以每個(gè)人都應(yīng)該想辦法解決這個(gè)問題。平時(shí)學(xué)習(xí)中，對(duì)二項(xiàng)式定理的基礎(chǔ)知識(shí)和易錯(cuò)、易混的典型問題給予足夠的重視，在易錯(cuò)點(diǎn)上給予更多的關(guān)注，以及針對(duì)性的訓(xùn)練，那么就一定能做到“會(huì)而對(duì)，對(duì)而全”。