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———復(fù)數(shù)常見錯例剖析

■陜西省韓城市西莊中學(xué) 張 斌

復(fù)數(shù)在各類考試中主要以考查基本概念、基本計算與其他知識相結(jié)合為主的客觀題形式出現(xiàn)，難度低，重基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)中只要夯實基礎(chǔ)，把握復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件、復(fù)數(shù)的四則運算、虛數(shù)單位i的周期性，針對不同試題，采取不同的求解策略，解題時才會得心應(yīng)手。

一、對復(fù)數(shù)概念的考查

復(fù)數(shù)的概念在考試中常出現(xiàn)的類型有：(1)復(fù)數(shù)概念的辨析；(2)復(fù)數(shù)的有關(guān)分類；(3)復(fù)數(shù)相等條件的應(yīng)用；(4)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系。

例1下面四個命題中正確命題的個數(shù)是( )。

①0比-i大；②兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其和為實數(shù)；③x+yi=1+i的充要條件為x=y=1；④如果讓實數(shù)a 與ai對應(yīng)，那么實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)。

A.0 B.1 C.2 D.3

錯因分析：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，常見錯誤就是對概念理解不到位，對復(fù)數(shù)分類分析不到位。

正解：①復(fù)數(shù)集內(nèi)不全是實數(shù)的數(shù)不能比較大小；②2+3=5∈R，但2，3不是共軛復(fù)數(shù)；③只有當(dāng)x、y∈R 時，才有x=y=1；④若a=0，則0i=0不再是純虛數(shù)。

答案：A

例2當(dāng)m 取何實數(shù)時，復(fù)數(shù)z=

錯因分析：由于所給復(fù)數(shù)z 已寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即z=a+bi(a，b∈R)，所以只需按題目要求，對實部和虛部分別進行處理，就極易解決此題，但要注意條件同時滿足才能成立，不能將條件分開求解。

正解：根據(jù)復(fù)數(shù)的概念知，當(dāng)z 為實數(shù)。

所以當(dāng)m=5時，z 是實數(shù)。

例3已知x 是實數(shù)，y 是純虛數(shù)，且滿足(2x-1)+i=y-(3-y)i，求x 與y的值。

錯因分析：因為y 是純虛數(shù)，所以可設(shè)y=bi(b∈R，且b≠0)，代入等式，把等式的左、右兩邊都整理成a+bi的形式后，再利用復(fù)數(shù)相等的充要條件得到關(guān)于x 與b 的方程組，求解后得x 與b 的值。

正解：設(shè)y=bi(b∈R，且b≠0)，代入條件并整理得(2x-1)+i=-b+(b-3)i。

例4已知復(fù)數(shù)z1=3+i，z2=1-i，則z=z1·z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

錯因分析：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，以及復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的一一對應(yīng)關(guān)系，計算時要將對應(yīng)符號包括在內(nèi)，則由z1·z2=(3+i)·(1-i)=4-2i，知對應(yīng)點為(4，2)，位于第一象限。

正解：因為z1·z2=(3+i)·(1-i)=4-2i，所以對應(yīng)復(fù)平面上點為(4，-2)，所以復(fù)數(shù)z 對應(yīng)的點應(yīng)在第四象限。

答案：D

二、復(fù)數(shù)的有關(guān)計算

復(fù)數(shù)的計算在高考題目中都會出現(xiàn)，并且每道題目都會匯聚復(fù)數(shù)的四種運算，這就要求我們熟悉四種運算法則仔細操作。

例5是虛數(shù)單位)等于( )。

A.1+i B.-1-i

C.1+3i D.-1-3i

錯因分析：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運算?？衫枚囗検匠艘远囗検降姆椒ń鉀Q此類問題，但應(yīng)特別注意運算過程中的符號問題。

正解

答案：D

三、虛數(shù)單位i的計算

若i2=-1，則稱i為虛數(shù)單位，與i有關(guān)的冪的計算一直是各類考試的重點內(nèi)容，解決這類題的關(guān)鍵是要掌握i的周期性。

例6設(shè)z=_____。

錯因分析：本題考查i的周期性及常見復(fù)數(shù)的化簡，記不清指數(shù)關(guān)系容易出錯，必須記清如(1±i)2=等。

正解：z=

答案：-1-i

四、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

例7(2019年陜西西安聯(lián)考試題)設(shè)i是虛數(shù)單位表示復(fù)數(shù)z 的共軛復(fù)數(shù)，若z=1+i，則

A.-2 B.-2i C.2 D.2i

錯因分析：本題需要理解復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)之間的關(guān)系，利用代數(shù)關(guān)系代入進行計算，容易出現(xiàn)計算上符號的錯誤。

正解：由

答案：C

五、與復(fù)數(shù)有關(guān)的變式應(yīng)用

此類問題主要是對復(fù)數(shù)有關(guān)知識的深層挖掘，題目涉及復(fù)數(shù)的幾何意義、模的有關(guān)計算、與復(fù)數(shù)有關(guān)的創(chuàng)新題目等。

例8已知復(fù)數(shù)Z 滿足|Z|=2，求|Z-i|的最值?

錯因分析：該題解法很多，既可以由模的定義轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值。甚至可以由||Z1|-|Z2||≤|Z1±Z2|≤|Z1|+|Z2|進行放縮，但運算要么過于煩瑣，要么取等號時條件驗證較困難，各有利弊，但仔細審題將模的條件視為距離，結(jié)合“|Z-Z0|=a 表示Z所對應(yīng)點的軌跡是以Z0所對應(yīng)點為圓心，以a 為半徑的圓；|Z-Z0|表示Z 所對應(yīng)點到Z0所對應(yīng)點之間的距離”進行求解。

圖1

正解：由|Z|=2 知復(fù)數(shù)Z所對應(yīng)復(fù)平面上點的軌跡是以原點為圓心，以2 為半徑的圓。而|Z-i|是求Z 所對應(yīng)點到點P(0，1)之間的距離。

如圖1 所示，顯然有|Zi|min=|PA|=1，|Z-i|max=|PB|=3。