簡易邏輯題型中的易錯題歸類剖析

■江蘇省口岸中學 楊 翠

運用命題間相互關系及命題的否定形式解題是常用邏輯用語這一部分的重點題型，它能涉及不等式、方程、函數等許多方面的知識。而在闡述充分與必要條件這些內容的問題時，最容易出錯、最難把握與確定的是判斷兩個命題之間的相互關系，即充分與必要條件。在此，我們針對簡易邏輯問題總結、分析了經常困擾同學們的七類典型錯誤，以幫助同學們認識，并掌握解答它們的正確方法與過程。以期達到以悟治誤的目的。

一、不能正確認識方程與根的關系導致命題錯誤

例1判斷命題“方程x2-3x+2=0的根是x=1”的真假。

錯解：真命題。

錯因分析：命題“x=1是方程x2-3x+2=0的根”與命題“方程x2-3x+2=0的根是x=1”是兩個不同的命題，前者為真命題，后者為假命題。

正解：假命題。因為方程x2-3x+2=0的根是x=1 或x=2，而不是只有一個根x=1。

二、不理解否命題及否命題與其他命題的關系導致錯誤

例2寫出命題“若x2+y2=0，則x=0且y=0”的否命題，并判斷真假。

錯解1：否命題：若x2+y2≠0，則x ≠0且y≠0。

錯因分析：且的否定為或，x=0且y=0的否定為x≠0或y≠0。

錯解2：原命題為真，所以否命題為假。

錯因分析：原命題與否命題的真假沒有關系。

正解：否命題：若x2+y2≠0，則x≠0或y≠0，所以否命題是真命題。

三、不能正確區分前提條件與命題條件導致表述命題錯誤

例3將下面的命題寫成“如果p，則q”的形式：當a＞0時，函數y=ax+b 的值隨x 的增大而增大。

錯解：“如果p，則q”的形式為：如果a＞0，則函數y=ax+b的值隨x 的增加而增加。

錯因分析：原命題有兩個條件：a＞0 和x 增加，其中a＞0是大前提，x 增加是條件。

正解：“如果p，則q”的形式為：當a＞0時，如果x 的值增大，則函數y=ax+b的值也增大。

四、對含有一個量詞的命題否定不完全致誤

例4已知命題p：存在一個實數x0，使得-2＜0，寫出?p。

錯解一：?p：存在一個實數x0，使得x0-2≥0。

錯解二：?p：對任意的實數x，都有x2-x-2＜0。

錯因分析：寫含有一個量詞的命題的否定，首先要明確這個命題是全稱命題還是特稱命題，并找出其量詞的位置及相應結論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，同時否定結論。

正解：?p：對任意的實數x，都有x2-x-2≥0。

五、對命題的否定形式認識錯誤導致誤判命題間的相互關系

例5已知命題p：|5x-2|＞3，命題q：，那么?p 是?q 的什么條件?并寫出解答過程。

錯解：許多同學認為?p 與?q 分別是

于是?p 既不是?q 的充分條件也不是?q 的必要條件。

錯因分析：錯誤的根源在于當p 與q 是不等式時，對?p 與?q 的形式在認識上存在錯誤。實際上?p 與?q 是對不等式|5x-2|＞3與解集的否定。正確的解答應該是先把這兩個不等式的解求出，對其解集進行否定。

正解：由不等式|5x-2|＞3，可得

六、不能正確認識參數范圍與命題間的真假關系導致求參數取值范圍出錯

例6已知p：方程x2+mx+1=0有兩個不等的負根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根。若“p 或q 為真，p 且q 為假”，求m 的取值范圍。

錯解：若方程x2+mx+1=0 有兩個不等的負根，則有解得m ＞2，即p：m＞2。

若方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根，則有Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3。

故m 的取值范圍是2＜m＜3。

錯因分析：以上所解得m 的范圍m ＞2與1＜m ＜3，是將實數集分成了四個部分。不少學生對每一部分的含義不清晰。誤把m＞2與1＜m＜3的公共部分2＜m＜3，當成所求m 的取值范圍。

正解：若方程x2+mx+1=0 有兩個不等的負根，則有解得m ＞2，即p：m＞2。

若方程4x2+4(m-2)x+1=0無實根，則有Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3。

因為“p 或q 為真”，所以p，q 中至少 有一個是真命題。又“p 且q 為假”，所以p，q中至少有一個是假命題。

因此，p，q 兩個命題應該是一真一假，即“p 為真，q 為 假”或“p 為 假，q 為 真”。當m∈(-∞，1]時，p 假，q 假；當m∈(1，2]時，p假，q 真；當m∈(2，3)時，p 真，q 真；當m∈[3，+∞)時，p 真，q 假。

七、沒有正確理解“或”與“且”導致判斷兩個命題之間的關系出錯

例7若非空集合M ?N，則a∈M 或a∈N 是a∈(M ∩N)的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

錯解：a∈(M ∩N)的意思是a∈M 且a∈N，所以a∈M 或a∈N 不能推出a∈(M∩N)，同樣a∈(M ∩N)也不能推出a∈M或a∈N，所以a∈M 或a∈N 是a∈(M ∩N)的既不充分也不必要條件。故選D。

錯因分析：“或”與“且”理解錯誤，邏輯中的“或”與生活中的“或”有區別，a∈M 或a∈N 包括三種：a∈M 但a?N；a∈N 但a?M；a∈M 且a∈N。所以a∈(M ∩N)可以推得a∈M 或a∈N。

正解：a∈(M ∩N)的意思是a∈M 且a∈N，而a∈M 或a∈N 包括三種：a∈M 但a?N；a∈N 但a?M；a∈M 且a∈N。所以a∈M 或a∈N 不能推出a∈(M ∩N)；a∈(M∩N)可以推得a∈M 或a∈N。故選B。