《二項(xiàng)式定理》經(jīng)典題型品味

■山東省肥城市泰西中學(xué) 尚振褀

高考對于二項(xiàng)式定理主要圍繞“求展開式滿足條件的特定項(xiàng)或系數(shù)和”等展開，凸顯“等價(jià)轉(zhuǎn)化”、“整體思維”、“分類與整合”、“通項(xiàng)法”和“賦值法”等思想和方法的具體應(yīng)用。

題型1——“通項(xiàng)分析法”求特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)

例1的展開式中x5的系數(shù)是-80，則實(shí)數(shù)a=____。

解析：由特定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，系逆向思維問題，先寫出展開項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再參照指數(shù)和項(xiàng)系數(shù)列方程求解。

品味：由(a+b)n(n∈N*)型求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)，是指展開式中的某一項(xiàng)，先準(zhǔn)確寫出通項(xiàng)再把系數(shù)與字母分離出來(注意符號)，根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征，列出方程或不等式來求解；求有理項(xiàng)時(shí)要注意運(yùn)用整除的性質(zhì)，同時(shí)應(yīng)注意結(jié)合n 的范圍分析求解。

題型2——用“系數(shù)配對法”解決多項(xiàng)式乘法展開式的項(xiàng)

例2的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是____。

解析的展開式的通項(xiàng)是因此的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

品味：多項(xiàng)式乘以二項(xiàng)式中求某項(xiàng)的系數(shù)，通用是系數(shù)配對法，即將多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)xk的系數(shù)與后面二項(xiàng)式展開式中xr-k的系數(shù)相乘，然后把所有這些滿足條件的情況相加，得到xr項(xiàng)的系數(shù)。依據(jù)多項(xiàng)式乘法用分類整合思想和通項(xiàng)公式來求解。

題型3——求二項(xiàng)式系數(shù)的最值

例3設(shè)m 為正整數(shù)，(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b。若13a=7b，則m=_____。

解析：(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為

題型4——求展開式系數(shù)的最值

例4已知的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992。(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)

解析：令x=1，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為(1+3)n=22n，又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，所以22n-2n=992，解得n=5。

(1)因?yàn)閚=5，展開式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，所以T3=

品味：二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)是不同的，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)也即找中間一項(xiàng)或兩項(xiàng)；展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是通過解不等式組確定r的值。

題型5——賦值法求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和

例5在的二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于_____。

解析：因?yàn)槎?xiàng)式所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，所以2n=256，所以n=8。

所以二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

令=0，得r=2，所以T3=112。

品味：二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式，對a，b 賦值可得到這種賦值法的應(yīng)用很廣泛。

題型6——賦值法求二項(xiàng)式的系數(shù)和

例6設(shè)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M-N=240，則n=。

解析：令x=1，得M=4n，N=2n，MN=4n-2n=240。

令t=2n，則t2-t-240=(t-16)(t+15)=0，故t=16=24，即n=4。

品味：賦值法，要根據(jù)二項(xiàng)展開式的結(jié)構(gòu)特征靈活賦值，特別注意“求展開式系數(shù)和”與“求二項(xiàng)式系數(shù)和”的區(qū)別。令x=1得展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，而二項(xiàng)式系數(shù)和為2n。

題型7——賦值法求部分項(xiàng)的系數(shù)和

例7(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a=_____。

解析：記(1+x)4的展開式中x 的奇數(shù)次冪項(xiàng)系數(shù)之和為A，偶數(shù)次冪項(xiàng)系數(shù)之和為B，則(a+x)(1+x)4的展開式中x 的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為aA+B。

用賦值法，令x=1，A+B=(1+1)4=24；令x=-1，A-B=(1-1)4=0，則A=32，得a=3。

品味：求部分項(xiàng)的系數(shù)和，通常需要二次賦值，若f(x)=(1+mx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+…偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+

題型8——用二項(xiàng)式定理解決整除與余數(shù)問題

例8設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512012+a 能被13整除，則a=( )。

A.0 B.1 C.11 D.12

解析：由于51=52-1，所以512012=(52

又由于52能被13整除，所以只需a+1能被13整除即可。

又0≤a＜13且a∈Z，所以a=12。

品味：求余數(shù)或證明整除，先依據(jù)除數(shù)湊配，然后利用二項(xiàng)式定理展開，最后證明、計(jì)算。關(guān)鍵是對被除式進(jìn)行合理變形，把它寫成恰當(dāng)?shù)亩?xiàng)式形式，使其展開后的某些項(xiàng)都含有除式的因式，進(jìn)而求余數(shù)或證明整除。