高考計數問題中的“多種思維方法”

■江蘇省丹陽高級中學 吳雨嫣

計數問題種類繁多，方法多變，但無外乎元素與位置的關系問題。是先考慮“元素”還是先考慮“位置”，或是將“元素”與“位置”綜合起來考慮，就衍生出眾多的解題策略與思維方法。只要把握住最基本、最常見的原理和方法，挖掘和提煉典型題目探究求解過程中所蘊含的多種思維方法，就能夠以不變應萬變，從而有效地提高解決問題的準確性。

一、數字組成中的“多種思維方法”

例1在由數字0、1、2、3、4、5 所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5 整除的數共有____個。

解析1：特殊元素優先法分類，根據所求四位數對0和5兩個元素的特殊要求將其分為四類：①含0不含5，先安排0的位置填空位，共有；②含5不含0，安排5的位置填空位，共有；③含0也含5，先安排0 和5 的位置填空位，共有④不含0 也不含5，共有=24(個)。所以符合條件的四位數共有48+72+48+24=192(個)。

解析2：間接法，數字0、1、2、3、4、5組成的沒有重復數字的四位數有=300(個)，能被5整除的數有二類：個位數為0的有=60(個)；個位數為5 的有(個)。故符合條件的四位數共有300-60-48=192(個)。

素養：數字組成常常圍繞“首末位、特殊元素0、奇偶性、整除或互質關系、大小關系”等展開，求解的思維方法，要么特殊位置優先填空位分步，要么特殊元素優先填空位分類，還可以應用間接法求解。

二、相鄰、不相鄰（相離）、不全相鄰問題中的“多種思維方法”

例2某次聯歡會要安排3 個歌舞類節目、2個小品類節目和1 個相聲類節目的演出順序，則同類節目不相鄰的排法種數是( )。

A.72 B.120 C.144 D.168

解析1：排歌舞插其他節目，依據插入的元素相同與不同分兩類求解。(1)先將3 個歌舞進行全排，其排法有種；(2)用小品與相聲插入將歌舞分開，若兩個歌舞之間只有一個其他節目，整體思考最后的結果構造兩類三個元素的全排列其插法有種。若兩個歌舞之間有兩個其他節目時插法先選后排有由計數原理可得節目的排法共有

解析2：安排歌舞分為兩類：第一類分兩步，先排歌舞類，其排法有種，然后利用插空法將剩余3 個節目排入左邊或右邊3 個空，故不同排法有第二類也分兩步，先排歌舞類，其排法有種，然后將剩余3個節目放入中間2個空，其排法有種，故不同的排法有48(種)。由分類計數原理可得節目的排法共有72+48=120(種)。

素養：排列問題中，部分元素相鄰的問題可以用“捆綁法”；部分元素不相鄰和部分元素無序的問題都用“插空法”。一般把沒有限制條件的元素作全排列，再把不相鄰的元素插空排好，注意插入元素的分類或位置的交換。

三、排隊問題中的“多種思維方法”

例3甲、乙、丙、丁等七人排成一排，要求甲在中間，乙、丙相鄰，丁不在兩端，則不同的排法共有多少種?

解析1：“特殊元素，優先排列”，甲、乙、丙、丁等七人按要求排成一排后，從左至右依次編號為1，2，3，4，5，6，7。顯然，甲必須排在第2 號位置上，依據丁的站位進行分類討論：①當丁站在第2或6號位置時，先乙、丙相鄰選位再排其他人，其排法有=48(種)；②當丁站在第3或5號位置時，先乙、丙相鄰選位再排其他人，排法有所以不同的排法共有48+72=120(種)。

解析2：“特殊位置，優先考慮”，依據乙、丙的站位進行分類討論：①當乙、丙站在“第1與2號”或“第6與7號”位置時，丁不在兩端，符合要求的排列法有C12×A22×C13×A33=72(種)；②當乙、丙站在“第2與3號”或“第5與6號”位置時，丁不在兩端，符合要求的排列法有所以不同的排法共有48+72=120(種)。

素養：排隊問題常用的思維方法：(1)元素分析法，以元素為主體，先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。(2)位置分析法，以位置為主體，先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。(3)間接法，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。

四、錯位排列中的“多種思維方法”

例4有五雙不同的鞋，從中任取4只，至少有2 只配成一雙的可能取法種數是多少?

解析1：直接分類研究，一類是4只中恰有2只配對，一類是4只鞋正好配成兩雙。

(1)若4只鞋正好是兩雙，直接從五雙鞋中任取兩雙，共有取法種數為

(2)取出的4 只鞋子有且只有2 只能配成一雙，分兩步完成：第一步，從五雙鞋子中任取一雙，有種取法。第二步再分為3類，第1類，從余下的穿在左腳的4只鞋子中任取2只，有種取法；第2類，從余下的穿在右腳的4 只鞋子中任取2 只，有種取法；第3類，從余下的左(或右)腳的4只中任取1只，再在余下的右(或左)腳和已取的1只不相配的3只鞋子中任取1只，有種取法，故共有取法。或如果恰好有2 只配成一雙，先從五雙中取出一雙，然后在剩下的四雙中取出兩雙，兩雙中各取1 只不配對，共有取法由分類計數原理，可知所有符合要求的取法為10+120=130(種)。

解析2：間接法研究，至少有2只配成一雙的對立事件就是4只均不配對，先從10只鞋中任取4只，有種取法，其中4只鞋都不成對可以看成從五雙鞋中取四雙，每雙取出1只，共有取法種。用間接法得所有符合條件的取法種數為

素養：n 個不同元素a1，…，an排成一排(簡稱第k 個位置為ak的本位)，有且僅有m(m≤n)個元素不排在本位的排列稱為錯位排列。特別地，如果n 個元素都不在本位，即m=n 時，稱這樣的排列為“全錯位排列”。對于這種配對問題，我們先處理好成對的元素，再按要求處理其他元素，這實際上也是在遵循特殊元素優先處理的原則。

五、“至多”、“至少”問題用間接法或直接分類法

例5 從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有____種不同的選法。

解析1：元素自然分組間接法求解，先選4人，再在所選4人中選出隊長1人，副隊長1人，其選擇方法為種方法，其中服務隊中至少有1名女生的對立事件為先選4個男生，再在所選4人中選出隊長1人，副隊長1 人，其選擇方法為于是服務隊中至少有1 名女生的選法為

解析2：直接法分兩步完成，第一步，8名學生中選4人(至少有1名女生)，其中1女3男有種選法；第二步，分配職務：4 人里選2 人擔任隊長和副隊長有種選法。所以不同的選法共有=(2×20+1×15)×12=660(種)。

素養：含有“至多”、“至少”的排列組合問題，可直接先分類后分步求解，多采用分類求解或轉化為它的對立事件用間接法求解，若用間接法，即排除法，但這種方法僅適用于反面情況明確且易于計算的情況，可以提高解題速度和準確率。