基于“學—思—行”的高中平面向量教學思考*

江西師范大學教育學院 (330022) 金貴燕江西師范大學數信學院 (330022) 劉詠梅

《普通高中數學課程標準(2017年)》提出了明確的課程目標，體現了立德樹人、全面發展的理念[1].《課標》將“平面向量及其應用”納入必修主題三《幾何與代數》之中并指出：向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景.向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁[1].要落實課程目標，需要回歸教育本源，體現“學—思—行”一體化.

一.“學”“思”“行”的特點及聯系

“學—思—行”一體化源于中外教育的基本觀點，我國教育家、思想家孔子將學習過程概括為“學—思—行”統一過程，這一思想經儒家思孟學派進一步提出“博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之”(《禮記·中庸》).《陶行知教育名篇》中指出陶行知倡導“行是知之始，知是行之成”，并認為學中有思，思中有學，學思中有行.“學—思—行”是完整教育的基本因素，三者相互聯系、互為前提，在學生的發展中又各有側重.

1.博而不泛之“學”

學生以學為主，“學”是最基本的過程，是教育存在的條件，也是學生的主要任務.“學”要做到“博而不泛”，既要使學生明確知識的來龍去脈，使“學”適當“博”，又要形成知識主線.

學生在教師創設的教學情境中探索、分析、歸納、概括等，獲得知識.如概念教學中的“學”是獲得概念的定義，明確概念的價值，了解概念的背景等.教師需要將知識的來龍去脈劃分為若干個學習的環節，安排學生學習.

學習的內容需要主題鮮明，層次清晰.如《平面向量及其應用》這一部分可以劃分為平面向量的概念、運算、基本定理和應用.在每個維度又可以進一步劃分，如向量的概念部分可以劃分為概念的背景感知、概念的抽象過程和概念的定義、概念的模型化等，使學生能夠依據鮮明的主線進行學習.

2.慎而不閉之“思”

“思”是形成數學思想、完善認知結構的過程.數學提供了思維合理的標準，學生的“思”主要依賴教師的“問”，要體會到數學思維的嚴密性特點，又要具有開放創新的特點，要能夠“慎而不閉”.

“慎思”是數學學習中需要培養的基本素養，“慎”指“思”要有一定的思想方法規則.如數學教育中的情境是有目的、有計劃的，圍繞情境設置“思”可以體現知識的價值、體現對數學的認識和理解，形成數學思維方式.

知識的形成是感性認識上升到理性認識的過程，是思維的飛躍，設置問題引導學生將“感悟”用符號或文字描述，形成陳述性知識，是“思”的重要目的.如概念的抽象和命題的歸納都是知識的形成點，引導學生揭示對象的本質屬性和規律是“思”的問題設置基礎.學習的目的是為了更好的發展，“思”既要促進思維發展，又要引導品格發展.

3.篤而不罔之“行”

數學是思維方式且是行為方式，陸游在其《冬夜讀書示子聿》中的兩句“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”是詩人學習經驗的總結.徐光啟在《幾何原本雜議》中指出：“此書為益，能令學者祛其浮氣，練其精心，學事者資其定法，發其巧思.故舉世無一人不當學.”說明數學學習對人的行為的影響價值.數學學習應使人形成規范和明確的行為方式，“行”需要在錯綜復雜的環境中發現問題、揭示本質，需要清晰思維引領，要“篤而不罔”地進行思考.

“行”是對知識、技能、能力、個性品質等方面的整合，需要依據一定的“章法”，設置學習中的“行”需要圍繞學習的重點，使學生通過“行”把握知識的精髓和本質.發現和提出問題、分析和解決問題都是“行”的主要目標.

數學的抽象性決定了數學學習需要克服困難，需要在學習難點處引導學生在“行”的過程中不斷反思、猜想、論證，不斷修改思路.教師要引導學生體現數學抽象和概括及一般化等數學思想方法在學生學習行為中的意義.

二.平面向量教學中的“學”“思”“行”

教材內容包括概念獲得、運算(性質)探索、應用遷移等，是一個“學—思—行”的完整循環過程.教學要強調知識發生、發展過程的體驗，發現問題、提出問題，并注重知識的再創造[2].

1.平面向量教學中的“學”

平面向量部分的“學”需要依據課程標準的要求和規定，要完成向量概念、向量運算、向量基本定理及坐標表示、向量應用等知識的學習.

平面向量的學習范圍要適當“博”，如概念是一類事物共同的本質屬性，概念的“學”需要在一定的情境中抽象概括本質屬性，并用符號將其表示出來.平面向量的教學要讓學生在了解數學源于生活的同時感悟數學一般化的必要.具體可以設置以下環節.

環節一：形成概念.通過實際“推、跑、移”等活動，學生體會力、速度、位移的存在，感悟到大小、方向的改變都會引起力、速度、位移的變化，從而抽象概括形成定義；

環節二：模型理想化.結合以往學習的知識可以將向量模型理想化為：與起點無關(規定).

“學”的內容要有主線，平面向量的概念來源于力、速度等物理量，知識建構也主要是依賴對這些物理量的理解，但又不等同于這些物理量.因而在知識發展處結合物理量的特點來抽象和概括是方法的主線.如向量基本定理中的“學”主要是掌握向量基本定理本身，會用坐標表示向量的加、減運算與數乘運算，以及用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個向量的夾角，會用坐標表示平面向量共線、垂直的條件，基礎是定理本身的理解和探索.教學中將一個向量分解為兩個向量和用兩個不共線的向量表示一個向量，是向量的加法和數乘的綜合運用.教學要體現三個特點：推廣加法和數乘、分解向量、表示向量，可以設計以下環節.

環節一：復習向量加法法則和數乘法則，進一步理解向量之間可以建構聯系.

環節二：引導學生回顧力的分解與合成并遷移和發現同一對角線對應的平行四邊形有無數多個，從向量的視角看就是一個向量可以表示為多種形式向量的和，進一步引導學生理解平面向量基本定理.

環節三：借助向量的相關運算認識和理解向量的線性表示.進而特殊化為將平面內向量表示為以直角坐標系中兩軸的正方向對應的單位向量為基底的線性組合，形成與坐標對應的表示.

2.平面向量教學中的“思”

“思”的目的是形成思想，建構聯系，“思”需要圍繞知識的發生和發展過程進行，通過思考揭示認識對象本質屬性，需要形成思維方式.“思”需要教師提出問題進行引導，教師的提問要問在學生認知的困惑之處，問在學生的發展之處，學生通過思考問題產生思維飛躍.

“思”要關注思維方式.“思”與“學”相輔相成，要聯系“學”來設計“思”的問題，要在“思”中感悟思維方式.如《平面向量及其應用》中的重要概念是向量概念本身，問題應該是向量產生的背景、向量模型的特點，于是可以提出以下問題.

問題一：通過對力、速度、位移等的分析而得到的，你有什么感悟？

問題二：兩個向量相等大小相同、方向相反，為什么向量要規定與起點無關？

問題三：向量為什么既有幾何表示又有代數表示？

通過“思”體會數學的重要推動力是實際，體會數學模型與實際的聯系與區別，體會向量容大小(數)與方向(形)于一體的基本屬性，感悟向量的數形結合橋梁的價值.理解數學研究的公理化思想，感悟概念建構中的抽象特點.

再如向量基本定理是向量與向量之間聯系的途徑之一，學生思考也要圍繞“學”的三個關鍵點進行，可以提出以下問題.

問題一：如果將向量的加法看成是力的合成的一般化的話，那么力的分解又可以如何一般化？

問題二：向量的正交分解與其他分解的區別與聯系是什么？

問題三：利用向量解決共線和垂直的問題的基本特點是什么，與其他解決方法的相同點和不同點是什么？

通過思考理解向量基本定理的價值，體會數學逆向思維價值，感悟一般到特殊的過程，對直角坐標系的數形轉化運用具有更深刻的認識.

教學中的“思”應該圍繞學生的困惑設置問題，如向量運算是學生遇到的新的問題，向量學習以前的運算只涉及“大小”，而向量運算還要涉及方向，如何解決這個問題，引導學生回到向量產生的源頭去發現解決問題的思路，形成新的思考.如向量加法教學可以設置以下問題引導學生探索和思考.

問題一：向量的運算法則如何確定，力的合成給我們什么啟示？

問題二：向量加法具有數與形的運算表示，我們可以得到什么啟示？

通過問題的思考，感悟實際是數學研究最根本的源泉，當遇到難題時往往在實際中尋找“靈感”，通過思考不斷創新，不斷探索.

3.平面向量學習中的“行”

“行”是已有知識和思維的實踐，也是新知識學習的源泉.學習中的“行”是檢驗“學”“思”的狀況，“行”要圍繞知識的重點和難點開展.

“行”需要圍繞情境展開分析和發現問題的活動，要在提出問題的基礎上展開“分析和解決問題”的活動，如向量概念學習中的“行”要圍繞理解概念、掌握概念的背景并建構概念.可以安排以下活動.

活動一：通過實驗感受力、位移、速度的存在，并結合“思”感悟三者的共性，用語言概括，形成概念并對概念模型化形成定義.

活動二：引導學生感悟實際問題中大小、方向同時考慮和只考慮大小之間的差異，并引導學生說一說自己的理解.

數學來源與實際但又是對實際的抽象，“行”就要引導學生體驗抽象概括的過程.很多數學對象的發展依賴其“運算”的特點，如向量的數量積是向量的一種重要運算，學生面對問題時，往往是從向量數量積的定義出發進行問題解決[3]，但對運算法則的背景理解不深刻，為使學生理解數學法則的確定的背景，學習中的“行”可以設置以下環節.

活動一：通過分析和畫圖探索力的性質中可以遷移到數量積的部分.

活動二：討論建構法則的途徑.學生可以圍繞如何建構乘法開展討論，形成自己的觀點.

學習過程中要從“行”中概括并把握數學研究的方法.如向量基本定理學習中的“行”.通過將同一向量表示為不同的線性組合，體會直角坐標系對向量線性表示的價值.平面向量基本定理有三種形式，可以從三個維度呈現,它的原型是共線定理，它的拓展是空間向量基本定理[4].

總之，教學中“學—思—行”三者具有不同的方法和層次，具有不同的目標.三者又相輔相成、互為前提、形成整體，相互依賴共同前行.每一節課有若干個循環，整個單元有若干個循環，教師要充分認識三者對提升學生素養的價值，在教學設計時關注三個方面的設計，將數學教學中的“學—思—行”看成一個整體進行思考，才能使學生得到全方位的發展，也才能更好地形成可持續發展的素養.