樸實中探究本質簡約中凸顯思維
——2018年一道高考題的解法探究及深入思考

2019-02-18 03:10:08廣東省廣州市真光中學510380何淑龍

中學數學研究(江西) 2019年1期

關鍵詞：探究

廣東省廣州市真光中學 (510380) 何淑龍

一、試題呈現

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

試題特征解讀：該題是2018年高考新課標1理科卷第19題，主要涉及橢圓、直線的方程及其位置關系，試題設置兩個遞進的小問，第(1)問既減輕了考生的心理壓力，又為第(2)問的探究設置了伏筆，構建動態的直線與靜態的橢圓交匯，蘊涵著“定性”結論的成立，充分體現了數學新課標的理念，具有很好的區分度，是一道值得探究的好題．

二、解法探究

1．表征題目關鍵詞

試題中給出了橢圓方程和直線方程，由于直線的不確定性，可知是經過焦點F(1,0)的直線系．“證明：∠OMA=∠OMB”等是關鍵詞，審題時弄清含義、理解透徹所要思考的方向和具體操作所需要的方法與策略．“無論直線怎樣變化，總有∠OMA=∠OMB”是幾何問題(兩個角相等)，既可以用幾何方法(直線AM的傾斜角與直線BM的傾斜角互補)也可以數形結合轉化為代數方法(兩條直線的斜率和為零)來解決，為尋找解題方法和思路做了一點提示，審題時需要注意．

2．解題思路分析

根據試題條件和上述分析可知，第(1)問先求出A,B的坐標，再由兩點確定一條直線；第(2)問中∠OMA=∠OMB，將角轉化為直線AM的傾斜角與直線BM的傾斜角互補，進而轉化為直線AM的斜率與直線BM的斜率之和為0，再將其坐標化，即可列出相應的方程，可以從幾個視角入手進行解題，來證明等式．

(2)解題方向：對于命題的證明，常常運用分析法及綜合法相結合來進行思考，而直線的斜率k變動時，總有∠OMA=∠OMB，形成不同的解題思路和策略.

視角1 根據上述分析將直線AM,BM的斜率之和表示出來，利用“kAM+kBM=0”來證明“當直線AB的斜率k變動時，總有”∠OMA=∠OMB”成立.

則直線AM的傾斜角與直線BM的傾斜角互補，故∠OMA=∠OMB.

證法2:根據上述分析將直線AM,BM的斜率之和表示出來，利用“kAM+kBM=0”來證明“當直線AB的斜率k變動時，總有“∠OMA=∠OMB”成立.

視角3 根據題目第(2)問的條件“當k變動時，總有“∠OMA=∠OMB”可知，角∠AMB的對稱軸就是x軸，由軸對稱的性質可知，直線AM與直線BM關于x軸對稱，具體化有點A關于x軸的對稱點A′一定在直線BM上,故有下面證法．

視角4 根據題目第(2)問的條件“當k變動時，總有“∠OMA=∠OMB”可知，結合圖形特征，MO是∠AMB的角平分線，只需證點O到直線MA和MB的距離相等，沿著這個思路有下面方法．

當直線l與x軸垂直時，得到x1=x2，所以①式成立，故∠OMA=∠OMB.

當直線l與x軸不垂直時，x1≠x2,∴3(x1+x2)-4-2x1x2=0,以下同解法2.

圖1

證法5：過點A,B分別作橢圓右準線的垂線，垂足分別為A1,B1(如圖1所示)

三、試題溯源

(Ⅰ)當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

(Ⅱ)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

(Ⅱ)當b=-a時，有k1+k2=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故∠OPM=∠OPN，所以P(0,-a)符合題意.

(Ⅰ)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(用m,n表示)；

(Ⅱ)設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N．問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由．

該試題的第1問是由題源1的第一問巧妙特殊化,求直線方程(該直線方程實際上是橢圓的切線),問題的設計降低難度,學生對問題易切入,讓學生信心倍增.試題的第2問是題源1的第2問的探究性問題整合而成的命題證明形式，把題源1使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN中的“當k變動”省去,增加問題的難度,對直線的斜率是否存在進行分類討論,加大了思維強度和廣度.

該試題第2問命題的證明是題源2探究問題的形式似曾相識，但是該題的問題指向性更具體明了，題源2中對稱性、字母的抽象性、探究是否存在等設計省去，有效地降低試題難度，但是該試題設計為命題的證明,有效地檢測學生對問題的開展探究、觀察、聯想、推理等能力的考查，對學生的邏輯推理、數學抽象、直觀想象、數學運算和數據分析等核心素養的考查，有意導向、強調教學過程增強數學學習的探究活動，對學生核心素養的培養,凸顯了命題專家的良苦用心和對中學教師教學的一種期望.