從2018天津卷理科數學的數列題看裂項相消法的常見題型

廣東省珠海市斗門區第一中學 (519100) 陳水松

1.試題解析

題目(2018年天津卷理科第18題)設{an}是等比數列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6.

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項公式；

(Ⅱ)設數列{Sn}的前n項和為Tn(n∈N*).

本題的第(Ⅰ)、(Ⅱ)(ⅰ)主要考查等差數列、等比數列的通項及前n項和的求法，求得an=2n-1，bn=n.Sn=2n-1,Tn=2n+1-n-2.

本題的(ⅱ)用到了裂項相消法.

與本題類似的試題有：

(1)求證：數列{an-bn}為等比數列；

2．(2018河南南陽一中考試題)已知{an}為單調遞增數列，Sn為其前n項和，2Sn=an+n.

(1)求{an}的通項公式；

解析：(1)略,求得an=n.

3．(2018衡水金卷)已知數列{an}的前n項和為Sn，對任意的正整數n，都有2Sn=3an+n-2成立．

評注：上述三例均是對通項進行裂項，使得中間項相互抵消，達到求和目的的.

2.方法總結

3.應用舉例

例1 已知數列{an}的通項公式為an=n·(n+1),求(1)數列{an}的前n項和Tn;(2)12+22+…+n2.

評注：在(1)中將二項乘積等價轉化為三項乘積之差，為后續的求和前后項相消奠定了基礎.

解析：(1)略,求得an=2n-1.

例4 (2018天津濱海新區七校聯考)已知數列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn=2an-1(n∈N*),數列{bn}滿足nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)(n∈N*),且b1=1.

解析：(1)略,求得an=2n-1.