2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅲ文科20題探究*

四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112) 胡生兵 趙思林

一、試題再現(xiàn)

題干中的線段AB實(shí)質(zhì)上是考生非常熟悉的中點(diǎn)弦，第(2)小題以向量的形式呈現(xiàn)．此題以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)立意．內(nèi)涵深刻，含有教材背景，解題思路寬，具有較高思維訓(xùn)練價值，值得探究．下面對這個優(yōu)秀的題目，從試題的立意、試題背景、試題解法和解題啟示等方面作一些探究．

二、試題的立意

立意是試題考查的目的．高考數(shù)學(xué)命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查，展示數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值[1]．本題以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)立意，意在考查解析幾何的基本思想方法(即解析法)和向量的基本思想方法(即向量法)．下面從考查基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力等方面分析試題的立意．

以知識立意：本題考查了直線的斜率、橢圓方程與性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算、三角形重心性質(zhì)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識．

以考查數(shù)學(xué)思想方法立意：本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，并考查直線與橢圓的交點(diǎn)、線段長度的求法，用中點(diǎn)坐標(biāo)表示斜率、判斷等差數(shù)列等基本方法．

三、試題的教材背景

像這樣立足于教材的試題，既可以保證試題背景的公平性，同時可以抑制題海，還對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有很好的引導(dǎo)和導(dǎo)向作用．因此，應(yīng)該大力提倡立足于教材的高考試題．

四、思路分析與解法探究

波利亞曾指出：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解一些要求獨(dú)立思考，思路合理、見解獨(dú)到和發(fā)明創(chuàng)造的題．”對試題的分析和解法探究可以從多角度、多層次思維著手，意在培養(yǎng)學(xué)生對不同知識的融會貫通，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維的發(fā)散性、系統(tǒng)性、優(yōu)化性、創(chuàng)新性．

(一)第(1)小題的思路分析與解法探究

第(1)小題主要有運(yùn)用韋達(dá)定理、參數(shù)法、運(yùn)用橢圓(或雙曲線)的垂徑定理、點(diǎn)差法、點(diǎn)差法的優(yōu)化等方法．

思路分析1：(運(yùn)用韋達(dá)定理)設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)+m．

點(diǎn)評：韋達(dá)定理是解答解析幾何問題的常用方法．該方法的思維難度不高，但是對考生的運(yùn)算素養(yǎng)要求高．在運(yùn)用韋達(dá)定理時，如果直線方程設(shè)立不恰當(dāng)，將會增加計算難度．

點(diǎn)評：通過構(gòu)造直線的參數(shù)方程，將斜率轉(zhuǎn)為傾斜角的正切值，這樣更好地揭示了問題的本質(zhì)．

點(diǎn)評：通過題目知道，第(1)問就是考查橢圓的中點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)，因此很容易想到運(yùn)用橢圓(或雙曲線)的垂徑定理．運(yùn)用此結(jié)論可以降低運(yùn)算難度，規(guī)避繁瑣運(yùn)算．

點(diǎn)評：點(diǎn)差法體現(xiàn)了整體代換的思想．解答問題(1)的關(guān)鍵就在于運(yùn)用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)表示斜率．根據(jù)斜率的定義、又知道中點(diǎn)坐標(biāo)，所以運(yùn)用點(diǎn)差法可以減少運(yùn)算量，使問題輕松獲解．

思路分析5：(點(diǎn)差法的優(yōu)化)在運(yùn)用點(diǎn)差法時，總共設(shè)了四個未知數(shù)x1,x2,y1,y2，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)減少未知數(shù)個數(shù)．

設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，因?yàn)橹悬c(diǎn)M(1,m)，所以點(diǎn)B(2-x1,2m-y1)．將點(diǎn)A,B代入橢圓方程，得

點(diǎn)評：運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)表示點(diǎn)A，等價于將點(diǎn)A和橢圓進(jìn)行平移．方程②表示平移后的橢圓，并且橢圓①和②關(guān)于點(diǎn)M對稱．而直線l表示兩個橢圓的公共弦．此方法很好的揭示了問題的幾何意義．

(二)第(2)小題的思路分析與解法探究

五、教學(xué)啟示

從高考命題的角度看，此題源于教材、高于教材，所以在平常教學(xué)和高三復(fù)習(xí)中都要重視教材、回歸教材、認(rèn)真鉆研教材．此題以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)立意的意圖是明顯的，也是成功的．因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)精選能體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好問題，讓學(xué)生進(jìn)行深度思考，多角度開展數(shù)學(xué)探究，不斷提高問題分析和問題解決的能力．

解析幾何是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)．解析幾何之難往往難在其運(yùn)算素養(yǎng)要求高上，也就是說，運(yùn)算素養(yǎng)位于解析幾何的制高點(diǎn)，運(yùn)算素養(yǎng)有時決定著解析幾何學(xué)習(xí)和考試的成敗．在解析幾何中如何降低(減少)運(yùn)算量或回避繁瑣的運(yùn)算，是解析幾何教學(xué)應(yīng)該思考和研究的問題．以本題為例，熟練運(yùn)用韋達(dá)定理，善于借助幾何直觀，靈活運(yùn)用直線或橢圓的參數(shù)方程、弦長公式以及向量工具等，就可以降低或減少運(yùn)算量．

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法具有密切關(guān)系．在解題教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合、方程或不等式等思想的運(yùn)用，熟練解析法、向量法、定義法、參數(shù)法、點(diǎn)差法等數(shù)學(xué)基本方法的運(yùn)用，對學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)和考好數(shù)學(xué)都是有益的．