探究代數表示幾何量的有效策略
——以幾道圓錐曲線題為例

浙江省金華市第六中學 (321000) 虞 懿

解析幾何的核心方法是用代數的方法研究圖形的幾何量(長度、角度、面積等)，核心思想是“數形結合”．本文采擷幾道典型試題，從解決解析幾何問題的核心思想方法出發，著重探究代數表示幾何量的有效策略．

一、策略舉隅

策略1以點坐標為參數實現幾何量的代數表示

分析：“幾何量的代數表示”是解決解析幾何問題的關鍵，在本題中的幾何量是線段AB的長度，用什么樣的代數式來表示這個幾何量？解析幾何中描述弦長的代數量通常就是點坐標或直線斜率或直線截距等．

評析：涉及“中點弦問題”時通常采用點差法．所謂點差法，就是在求解與圓錐曲線有關的弦的“中點問題”時用到的一種“代點作差”的解題方法，其特點是代點作差后可巧代直線斜率和中點坐標，進而通過“設而不求”以達到減少計算量的目的．

策略2以直線斜率為參數實現幾何量的代數表示

評析：根據條件得出四邊形OANB為平行四邊形，然后設出直線l的方程，并代入橢圓方程中，從而利用韋達定理得到S四邊形OANB的代數表達式，通過換元再利用基本不等式求得其最值．求多邊形的面積問題，常轉化為三角形的面積后進行求解，這點應格外重視．

策略3以直線截距為參數實現幾何量的代數表示

分析：設出直線l的方程，與橢圓方程聯立，由判別式、韋達定理和條件OA⊥OB得出k與m的關系，再利用弦長公式及三角形面積公式就可以建立S關于m的目標函數．

策略4借助參數方程實現幾何量的代數表示

圖1

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

評析：利用直線參數方程中參數的幾何意義，避免了繁瑣的計算，使得方程的聯立簡便易得.

策略5回歸向量知識本質實現幾何量的代數表示

向量具有代數、幾何雙重身份，融數形于一體，是溝通代數和幾何的橋梁．它可以將幾何問題坐標化、數量化，因此它是解決解析幾何問題的重要工具．

若cos∠OPM=cos∠OPN,有

綜上，點P(0,-a)符合題意．

評析：本解法另辟蹊徑，構建平面向量，利用數量積的定義求夾角，簡潔明了．在探究解題思路時，要善于從不同的角度分析、挖掘它與其他知識的聯系，在平面解析幾何中有關長度、角度的計算及有關平行、三點共線、垂直等位置關系問題都可以用向量知識解決．

二、探究啟示

解析幾何的核心方法是用代數的方法研究幾何問題，在解題過程中，首先要將文字信息、圖形條件進行轉換，通過代數語言描述幾何要素及其關系，將已知的幾何量(條件)表示成代數式，然后進行適當的代數運算得出代數結果，最后通過分析代數結果的幾何含義解決幾何問題，在這個過程中要經歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉換．因此，我們必須重視對幾何量(關系)的深入研究，探究用何種代數形式能恰當表示題目中的幾何量(關系)，同時有利于代數運算，從而形成正確的求解策略．