解析幾何中“任意點(diǎn)和它的對(duì)偶直線”在解題中的妙用

江蘇南京工程學(xué)院 (211167) 尤興華江蘇省南京市第二十九中學(xué) (210036) 尤新建

一、問(wèn)題的提出

在解析幾何中，題型豐富多彩，更需要我們不斷加以分析總結(jié)，看清題目背后的知識(shí)背景，思考問(wèn)題的核心本質(zhì)，這樣才能通過(guò)解決一個(gè)問(wèn)題，掌握一類問(wèn)題.

極點(diǎn)極線(特殊的點(diǎn)和直線的對(duì)偶關(guān)系)是高等幾何的概念，二次曲線的好多性質(zhì)都與它有關(guān)，許多考題的設(shè)計(jì)也都來(lái)源于此，雖然以前也有好多論述，但好多師生并不熟悉，本文再次加以總結(jié)，希望對(duì)讀者有所幫助.

文[1]論證了圓錐曲線內(nèi)的點(diǎn)和它的對(duì)偶直線的存在性和對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到了關(guān)于對(duì)偶點(diǎn)和對(duì)偶直線的一系列結(jié)論．

結(jié)論1 給定圓x2+y2=r2：

(1)P(x0,y0)是不同于圓心的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P的對(duì)偶直線是x0x+y0y=r2；

注：若點(diǎn)P在圓上，則其對(duì)偶直線為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的圓的切線；若點(diǎn)P在圓外，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P引圓的兩條切線PA、PB,其中A、B為切點(diǎn)，則其對(duì)偶直線為切點(diǎn)弦AB所在直線.

注：若點(diǎn)P在橢圓上，則其對(duì)偶直線為經(jīng)過(guò)P的橢圓的切線；若點(diǎn)P在橢圓外，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P引橢圓的兩條切線PA、PB,其中A、B為切點(diǎn)，則其對(duì)偶直線為切點(diǎn)弦AB所在直線.

文[2]對(duì)于上述結(jié)論給出了部分證明.下面就應(yīng)用這些結(jié)論解決一系列的問(wèn)題：

二、點(diǎn)關(guān)于圓的“對(duì)偶直線”的應(yīng)用

例1 已知圓C1:(x-1)2+y2=16,圓C2:(x+1)2+y2=1,點(diǎn)S是圓C1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)過(guò)C2的直線交圓C1于A，B，且以A、B為切點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)Q,求證：點(diǎn)Q在定直線上.

證明：設(shè)Q(m,n),則切點(diǎn)弦AB的方程為(m-1)(x-1)+ny=16,將C2(-1,0)代入得到m=-7,故點(diǎn)Q在定直線x=-7上.

三、點(diǎn)關(guān)于橢圓的“對(duì)偶直線”的應(yīng)用

圖1

若點(diǎn)G恒在一條定直線上，則此定直線必為x=4.下面證明對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，直線A1M與直線A2N的交點(diǎn)G均在直線x=4上．

四、追本溯源，鏈接高考

(1)求橢圓C的方程；

(1)+(2)×2并結(jié)合(3)，(4)得4x+2y=4,即點(diǎn)Q(x,y)總在定直線2x+y-2=0上.

圖2

當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線MN方程為

基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)通過(guò)建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，刻畫研究對(duì)象的性質(zhì)，關(guān)系和規(guī)律，數(shù)學(xué)教育的根本是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀，數(shù)學(xué)的結(jié)論是“看”出來(lái)的，不是“證”出來(lái)的.解析幾何在高中數(shù)學(xué)的地位很重要，學(xué)生的普遍問(wèn)題是算不到最后的結(jié)果，無(wú)功而返，通過(guò)以上幾例的比較，試圖能夠讓學(xué)生透過(guò)一系列的數(shù)學(xué)現(xiàn)象領(lǐng)略到其背后的本質(zhì)，建立數(shù)學(xué)模型，從而很快洞察該類型結(jié)果，積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，在這個(gè)基礎(chǔ)上促進(jìn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).