掃描三角函數中的解題誤區

■王紅娟

三角函數是高中數學的重要內容之一，因其概念性較強，解題方法靈活等特點，如果審題不清，概念理解不到位，忽視隱含條件等，很容易導致解題出錯。下面列出幾種常見的解題誤區，并對誤區進行剖析，以防止類似錯誤再次發生。

誤區1：忽視同角三角關系的內在聯系

例1已知求m的取值集合。

錯 解：因 為 sin2θ +cos2θ =1，所 以解得m=0或m=8。故m 的取值集合為｛0，8｝。

剖析：上述解法忽視時正、余弦函數的取值符號。

正 解：因 為 sin2θ +cos2θ =1，所 以解得m=0或m=8。當m=0時，sinθ=與已知矛盾；當m=8時符合題意。綜上可知，m的取值集合為｛8｝。

警示：同角三角函數關系中既要注意正、余弦函數值的符號，還要注意sinθ，cosθ之間的內在聯系（滿足平方關系）。

誤區2：圖像變換中忽視整體變量觀念

錯解：y=sin變換成y=sin2x是把每個x值擴大到原來的4倍，再把y=sin2x的每個x向右平移得到應選A。

剖析：三角函數圖像變換有先周期后相位和先相位后周期兩種方法。上述解法忽視了變換順序，且缺少整體變量的觀念。

正解：將的圖像上各點的縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的得到y=sin2x的圖像，再將y=sin2x的圖像的縱坐標不變，橫坐標向右平移π 6個單位，可得到函數的圖像。應選D。

警示：三角函數的平移變換和伸縮變換，因先后順序不同，平移的量也不同。

誤區3：忽視三角函數在閉區間上的單調性

例3已知函數f（x）=求 函 數 f （x）在 區 間上的最大值和最小值。

錯解：由可得所以即函數f（x）的最大值為1，最小值為-1。

剖析：上述解法認為余弦函數在上是單調的。

正解：由可得所以當即時，f（x）有最小值，可得f（x）min=-1；當2x即時，f（x）有最大值，可得 f （x）max=2。故 函 數 f（x）在上的最小值為-1，最大值為2。

警示：余弦函數y=cosx在上單調遞增，在上單調遞減。解答本題的關鍵是分清函數的單調性對應的區間。

誤區4：忽視對參數正負的討論

例4已知函數+a+b的定義域是值域是求a，b的值。

錯解：由可得所 以則

剖析：上述解法認為參數a＞0，從而導致漏解。

正解：由0≤x≤可得所以當a＞0時，由當a＜0時，由

故a=2，b=-5或a=-2，b=1。

警示：求函數f（x）=Asin（ωx+φ）的最值，要注意參數A的正負，即應對參數A分類討論。

誤區5：對正、余弦函數的對稱性理解不透

例5已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均為正常數）的最小正周期為π，當時，函數f（x）取得最小值，則下列結論正確的是（ ）。

A.f（2）＜f（-2）＜f（0）

B.f（0）＜f（2）＜f（-2）

C.f（-2）＜f（0）＜f（2）

D.f（2）＜f（0）＜f（-2）

錯解：由題意可知周期所以ω=2，這時fx（）=Asin（2x+φ）。當函數f（x）取得最小值，則

剖析：依據正弦函數的對稱軸的意義，要比較f2（），f（-2），f0（）的大小，只需判斷2，-2，0與最近的最高點處的對稱軸的距離的大小即可。

正解：易得當即（k∈Z）時，fx（）取得最大值。要比較f2（），f（-2），f0（）的大小，只需判斷2，-2，0與最近的最高點處的對稱軸的距離大小，易知0，2與比較近，-2與比較近，所以當k=0時當k=-1時所以f2（）＜f（-2）＜f0（）。應選A。

警示：解答本題的關鍵是根據函數值在圖像中的具體位置進行判斷的，這也凸顯函數圖像的應用價值。