解析幾何創立的歷史背景

云南省昭通市昭通學院數學與統計學院 李青柏

解析幾何又名坐標幾何，是幾何學的一個分支，其基本思想是用代數的方法來研究幾何問題，它的基本方法是坐標法。本文對解析幾何產生前的幾何學，幾何學創立的內、外部動力以及創立的過程作簡單的綜述，為讀者理清其發展的邏輯關系。

一、解析幾何產生前的幾何學

解析幾何產生前的幾何學以歐幾里得的平面幾何和立體幾何、阿波羅尼奧斯的圓錐曲線為主。公元前300年，希臘先后出現“歐幾里得，阿基米德、阿波羅尼奧斯”三大數學家，標志著古典希臘數學的巔峰。

歐幾里得（公元前330～275 年）是論證幾何學的集大成者，寫了很多數學、天文學、光學、音樂方面的著作，其中最重要的莫過于《幾何原本》。采用了公理法對當時的數學知識作了系統化、理論化的總結。構成了歷史上第一個數學公理體系。

阿基米德（公元前287～212 年）可以說是一位偏重應用的數學家，他用“平衡法”解決了一系列幾何圖形的面積、體積的計算問題。他把希臘幾何學幾乎提到西方17 世紀后才得以超越的高峰，他對窮竭法的應用代表了古代用有限方法處理無限問題的最高水準。

阿波羅尼奧斯（約公元前262 ～190 年）通過平面去截一個對頂的圓錐得到橢圓、雙曲線、拋物線，并正式命名為圓錐曲線。圓錐曲線論是希臘演繹幾何的最高成就，他用純幾何的手段達到了今天解折幾何的主要結論。但是這種純幾何的演繹形式使其晦澀難懂，也使其后千年間的幾何學裹足不前。

以上幾何學的特點：靜態幾何，既不把曲線看成是有一種動點的軌跡，也沒有給它以一般表示方法。

二、變量數學的需求使原有幾何學出現解決問題乏力的狀態

近代數學本質上可以說是變量數學（12 ～16 世紀）。在這之前的歐洲是混沌的（5 ～11 世紀），封建宗教統治致使理性壓抑，生產力的發展帶來文藝興。波蘭天文學家哥白尼（1473～1543 年）提出日心說，意大利物理學家、天文學家伽利略（1564 年～1642 年）得出慣性定理和自由落定理，發現投擲物體是沿著拋物線運動的；德國天文學家開普勒發現行星是繞著太陽沿橢圓運動的，太陽處在這個圓的焦點上；武器的改進刺激了彈道問題的討論。這些都向幾何學提出了用運動觀點來認識和處理圓錐曲線及其他幾何問題，幾何學必須從觀點到方法來一次變革，創立起一種建在運動觀點上的幾何學。總之，16 世紀，對運動與變化研究已變成了自然科學的中心問題。原有幾何學出現解決問題乏力的狀態，這就迫切地需要一種新的數學工具，從而導致了變量數學的產生。

三、代數的發展恰好為解析幾何的誕生創造了條件

15 世紀，數學家們認識到了數學符號的意義，符號體系的建立使代數成為一門科學，是近代數學最明顯的標志之一。數學符號系統化首先應歸功于法國數學家韋達（1540～1603 年），他業余研究數學，是16 世紀最有影響力的數學家，也被認為是16 世紀最偉大的數學家，他從丟番圖（約公元246～330 年，據推斷和計算而知）的著作中獲得使用字母符號的想法，他是第一個在代數中有意識地、系統地使用字母表示未知量及各種方程的系數和常數。后來，法國數學家笛卡爾（1596～1650 年）和沃利斯（1616～1703 年）改進、健全了符號系統。這樣，代數就從一門以分別解決各種特殊問題的側重于計算的數學分支，成為一門以研究一般類型的形式和方程的學問。

16 世紀，代數的發展，三次方程、四次方程求根問題的解決恰好為解析幾何的誕生創造了條件，為幾何曲線建立代數方程鋪平了道路。代數的符號化，使坐標概念引進成為可能，從而為建立一般曲線的方程，發揮其具有普遍性理論方法的作用。

四、解析幾何的創立

經過幾百年的醞釀，到17 世紀前半葉，法國數學家笛卡爾和費馬（1601～1665 年）批判地繼承了前人的成就，成為解析幾何的創立者。

笛卡爾改變了自古希臘以來代數和幾何相分離的趨向，提出了坐標系和曲線方程的思想，建立了歷史上第一個傾斜坐標系，坐標系中點的軌跡是一個方程代表的曲線，并把數與形統一起來。笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數學，把算術、代數、幾何統一起來。他設想，把任何數學問題化為一個代數問題，再把任何代數問題歸結到去解一個方程式。

費馬是個業余數學家，在幾何方面以研究動點軌跡問題而聞名，堪稱與笛卡爾并列為發現坐標幾何理論的人。他很早就研究用代數方法解決幾何問題，曾指出：“只要在最后的方程中出現兩個未知量就得到一個軌跡”，并定義了二次曲線的最簡方程和直線方程。費馬以希臘幾何繼承者面貌出現，力求恢復失傳的阿波羅尼奧斯的著作《論平面軌跡》，但他沒有注意到代數方程的全部理論及應用它于幾何。而笛卡爾相反在《幾何》一書中運用整理了全部方程理論，自覺地用代數方法，坐標方法更換了古代方法，他的方法遠遠超出了普通幾何的論述，并在“三卷”中指出一般方法程序：幾何作圖用代數表示，先解方程再作圖。

歷史上曾經發生過關于笛卡爾與費爾馬關于解析幾何明權的爭論，后來和解了。我們認為，他和笛卡爾的創造都是文藝復興以來歐洲數學振興帶來的必然結果。解析幾何是代數與幾何相融合的產物，也是變量數學的產物，為微積分的創立，撘起了舞臺。